《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

二 共面向量
思考1 空间任意两个向量是共面向量,则空间任意三个向量是否共面？不一定，如图所示，在三棱锥O−ABC中，空间中的三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共面.

答案： 不一定，如图所示，在三棱锥O−ABC中，空间中的三个向量$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$，$\overrightarrow{OC}$不共面.

思考2 对两个不共线的平面向量a,b,如果p=xa十yb,那么向量p与向量a,b共面,对于空间向量成立吗？

答案： 成立，对两个不共线的空间向量a,b，如果p=xa+yb，那么向量p与向量a,b仍然共面.

1.向量与平面平行
如果表示向量α的有向线段OA所在的直线OA①平行于平面α或②在平面α内,那么称向量a平行于平面α.

答案： 平行于平面α 在平面α内

2.共面向量

提醒 已知e1,e2,e3为空间三个不共面的向量,若xe1+ye2+xe3= 0(x,y,N∈R),则x= y=
x= 0.

答案： 平面 唯一 p=xa+yb

[例2]已知A,B,C三点不共线,平面ABC外一点M,满足OM= $\frac{1}{3}$OA+$\frac{1}{3}$OB+$\frac{1}{3}$ōC,判断MA,MB,MC三个向量是否共面.
$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量共面.因为$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，所以$3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，化简得，$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=\mathbf{0}$，即$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\mathbf{0}$，即$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，故$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量共面.

答案： $\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量共面.因为$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，所以$3\overrightarrow{OM}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$，化简得，$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})=\mathbf{0}$，即$\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\mathbf{0}$，即$\overrightarrow{MA}=-\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MC}$，故$\overrightarrow{MA}$，$\overrightarrow{MB}$，$\overrightarrow{MC}$三个向量共面.

[跟踪训练2]已知i,j,k是不共面向量,a= i一2j+k,b= -i+3j+2k,c= -3i+7j,证明这三个向量共面.
由i,j,k是不共面向量，得b与c不共线，设a=xb+yc，则i−2j+k=x(−i+3j +2k)+y(−3i+7j)，所以$\begin{cases}1=-x-3y\\-2=3x+7y\\1=2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$a=\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c$，所以这三个向量共面.

答案： 由i,j,k是不共面向量，得b与c不共线，设a=xb+yc，则i−2j+k=x(−i+3j +2k)+y(−3i+7j)，所以$\begin{cases}1=-x-3y\\-2=3x+7y\\1=2x\end{cases}$，解得$\begin{cases}x=\frac{1}{2}\\y=-\frac{1}{2}\end{cases}$，所以$a=\frac{1}{2}b-\frac{1}{2}c$，所以这三个向量共面.