《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

思考 1 什么是点到直线的距离？点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度.

答案： 点到直线的距离是该点与直线上任一点的距离的最小值，也就是过该点向直线所引的垂线段的长度.

思考 2 向量是解决空间距离问题的有力工具,如图所示,怎样用向量方法求点 $ P $ 到直线 $ l $ 的最短距离呢？

从直线l上任取一点M,$\overrightarrow {PQ}$可以看作$\overrightarrow {PM}$在直线l的垂线上的投影向量,求出$\overrightarrow {PQ}$的模即可.

答案： 从直线l上任取一点M,$\overrightarrow {PQ}$可以看作$\overrightarrow {PM}$在直线l的垂线上的投影向量,求出$\overrightarrow {PQ}$的模即可.

1. 定义：点 $ P $ 到直线 $ l $ 的距离,就是从点 $ P $ 到直线 $ l $ 的垂线段 $ PQ $ 的长度,其中 $ Q $ 是$\underline{①}$垂足。
2. 图示：
3. 公式：点 $ P(x_0,y_0) $ 到直线 $ l:Ax + By + C = 0 $($ A,B $ 不同时为 0)的距离 $ d = \underline{②} $$\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$。

答案： ①垂足　②$\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 当点 $ P(x_0,y_0) $ 在直线 $ l:Ax + By + C = 0 $ 上时,点到直线的距离公式不适用了。 (×)
(2) 点 $ P(x_0,y_0) $ 到直线 $ y = kx + b $ 的距离为 $ \frac{|kx_0 + b|}{\sqrt{1 + k^2}} $。 (×)
(3) 直线外一点与直线上任一点的距离的最小值就是点到直线的距离。 (√)
(4) 点 $ P(x_0,y_0) $ 到与 $ x $ 轴平行的直线 $ y = b $($ b \neq 0 $)的距离 $ d = y_0 - b $。 (×)

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 在平面直角坐标系中,点 $ P(0,-1) $ 到直线 $ x - y = 3 $ 的距离为 $$$\sqrt {2}$$$。

答案： $\sqrt {2}$

3. 已知 $ \triangle ABC $ 的三个顶点 $ A(-2,1) $,$ B(2,13) $,$ C(5,12) $,则 $ AB $ 边上的高为 $$$\sqrt {10}$$$。

答案： $\sqrt {10}$

例 1(多选)已知点 $ A(3,3) $,$ B(5,-1) $ 到直线 $ l:y = kx + 1 $ 的距离相等,则斜率 $ k $ 的值可以是 (AC)
A.$-2$
B.$2$
C.$0$
D.$-\frac{1}{2}$

答案： AC