《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1) 已知空间向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 满足 $\boldsymbol{a} = \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}$,$|\boldsymbol{a}| = 1$,$|\boldsymbol{b}| = 2$,$|\boldsymbol{c}| = \sqrt{7}$,则 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的夹角为 (D)
A.$30^{\circ}$
B.$150^{\circ}$
C.$60^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： D

① 用 $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OM}$,并求出 $|\overrightarrow{OM}|$；
② 求证：$OM \perp BC$。

答案： ①$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC}$，$|\overrightarrow{OM}|=\sqrt{2}$ ②证明：$\overrightarrow{OM}\cdot \overrightarrow{BC}=(\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{6}\overrightarrow{OC})\cdot (\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OC}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}-\frac{1}{6}{\overrightarrow{OB}}^{2}+\frac{1}{6}{\overrightarrow{OC}}^{2}=\frac{1}{2}×2-\frac{1}{2}×2-\frac{1}{6}×4+\frac{1}{6}×4 = 0$，所以OM⊥BC.

1. 已知空间单位向量 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 两两垂直,则 $|\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} + \boldsymbol{c}| = $ (D)
A.$1$
B.$\sqrt{6}$
C.$3$
D.$\sqrt{3}$

答案： D

2. 在空间四边形 $OABC$ 中,$OB = OC$,$\angle AOB = \angle AOC$,则向量 $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{BC}$ 的夹角为 (D)
A.$\frac{\pi}{6}$
B.$\frac{\pi}{4}$
C.$\frac{\pi}{3}$
D.$\frac{\pi}{2}$

答案： D

3. (多选)设 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 为空间中的任意两个非零向量,下列各式中正确的有 (BD)
A.$\frac{\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}} = \frac{\boldsymbol{b}}{\boldsymbol{a}}$
B.$\boldsymbol{a}^2 = |\boldsymbol{a}|^2$
C.$(\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 \cdot \boldsymbol{b}^2$
D.$(\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b})^2 = \boldsymbol{a}^2 - 2\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} + \boldsymbol{b}^2$

答案： BD

4. 在三棱锥 $P - ABC$ 中,$PB = PC = 1$,$\angle APB = \angle APC = 90^{\circ}$,$\angle BPC = 60^{\circ}$,则 $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{PC} = $$\frac{1}{2}$

答案： $\frac{1}{2}$

5. (教材 $P_9$ 练习 $T_4$ 改编)如图,已知线段 $AB$,$BD$ 在平面 $\alpha$ 内,$BD \perp AB$,$AC \perp \alpha$,且 $AB = 4$,$BD = 3$,$AC = 5$,则 $CD = $$5\sqrt{2}$$$。

答案： $5\sqrt{2}$