《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 两个有公共终点的向量,一定是共线向量。(×)
(2) 若 $a = -b$,则 $|a| = |b|$。(√)
(3) 若两个向量的起点重合,则这两个向量的方向相同。(×)

答案：
(1)×
(2)√
(3)×

2. 如图,在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$AB = 3$,$AD = 2$,$AA_1 = 1$,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中：

(1) 单位向量有$\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{CC_1},\overrightarrow{C_1C},\overrightarrow{DD_1},\overrightarrow{D_1D}$；
(2) 模为 $\sqrt{5}$ 的向量有8个；
(3) 与 $\overrightarrow{AB}$ 相等的向量有$\overrightarrow{A_1B_1},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D_1C_1}$；
(4) $\overrightarrow{AA_1}$ 的相反向量有$\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{C_1C},\overrightarrow{D_1D}$。

答案：
(1)$\overrightarrow{AA_1},\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{BB_1},\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{CC_1},\overrightarrow{C_1C},\overrightarrow{DD_1},\overrightarrow{D_1D}$
(2)8
(3)$\overrightarrow{A_1B_1},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{D_1C_1}$
(4)$\overrightarrow{A_1A},\overrightarrow{B_1B},\overrightarrow{C_1C},\overrightarrow{D_1D}$

思考1 平面向量的线性运算是指哪些运算？
平面向量的加减法及数乘运算

答案： 提示:平面向量的线性运算是指平面向量的加减法及数乘运算.

思考2 空间中的向量能用平面向量的线性运算法则进行运算吗？
能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算.

答案： 提示:能.因为空间向量是可以自由移动的，所以对于空间中的任意两个非零向量，我们都可以通过平移使它们的起点重合，又因为两条相交直线确定一个平面，所以平移后两个向量是在同一个平面内的，同一平面内的两个向量可以利用平面向量的线性运算法则进行运算.

[知识梳理]

①$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$②$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$③$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$④$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$

答案： ①$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AB}$ ②$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OC}$ ③$\boldsymbol{b}+\boldsymbol{a}$ ④$(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})+\boldsymbol{c}$

[例1](对接教材探究)

如图,已知平行六面体 $ABCD - A'B'C'D'$,化简下列各式：
(1) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA'}$；
(2) $\overrightarrow{DD'} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$。
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
(2)因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD'}$.

答案：
(1)$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AA'}=\overrightarrow{AC'}$.
(2)因为$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}$，所以$\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DD'}-\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{DD'}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD'}$.