《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

二 直线的斜截式方程
思考 在平面内,过点 $ P_0(0,b) $ 且斜率为 $ k $ 的直线方程如何表示？
$y=kx+b$

答案： 提示:$y=b=kx.$

1. 我们把直线 $ l $ 与 $ y $ 轴的交点 $ (0,b) $ 的纵坐标 $ b $ 叫做直线 $ l $ 在 $ y $ 轴上的①截距。

答案： ①截距

2.

提醒
(1) 直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况。
(2) 截距是一个实数,它是直线与坐标轴交点的横坐标或纵坐标,可以为正数、负数和 0(当截距均为 0 时直线过原点)。
(3) 一次函数 $ y = kx + b(k \neq 0) $ 的图象是一条直线,直线的斜截式方程就是函数解析式,其中 $ k $ 是直线的斜率,$ b $ 是直线在 $ y $ 轴上的截距。

答案： y = kx + b

例 1
求满足下列条件的直线的方程。
(1) 斜率为 2,在 $ y $ 轴上的截距为 -1；
(2) 倾斜角为直线 $ y = \sqrt{3}x + 1 $ 的倾斜角的一半,在 $ y $ 轴上的截距为 -2；
(3) 倾斜角为 $ 60^{\circ} $,在 $ y $ 轴上的截距为 3。
母题探究
将本例(3)的条件“在 $ y $ 轴上的截距为 3”变为“与 $ y $ 轴的交点到原点的距离为 3”,求直线的方程。
【解】
(1)由题意得$k=2,b=-1,$由斜截式得直线方程为$y=2x-1.$
(2)因为直线$y=\sqrt {3}x+1$的斜率为$\sqrt {3},$所以其倾斜角为$60^{\circ }$,故所求直线的倾斜角为$30^{\circ }$,所以$k=tan30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{3}$.又$b=-2$,所以直线方程为$y=\frac {\sqrt {3}}{3}x-2.$
(3)因为直线的倾斜角为$60^{\circ }$,所以其斜率$k=tan60^{\circ }=\sqrt {3}$.又$b=3$,所以所求直线方程为$y=\sqrt {3}x+3.$[母题探究] 解:因为直线的倾斜角为$60^{\circ },$所以其斜率$k=tan60^{\circ }=\sqrt {3}$.因为直线与y轴的交点到原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距$b=3$或$b=-3$.所以所求直线方程为$y=\sqrt {3}x+3$或$y=\sqrt {3}x-3.$

答案： 【解】
(1)由题意得$k=2,b=-1,$由斜截式得直线方程为$y=2x-1.$
(2)因为直线$y=\sqrt {3}x+1$的斜率为$\sqrt {3},$所以其倾斜角为$60^{\circ }$,故所求直线的倾斜角为$30^{\circ }$,所以$k=tan30^{\circ }=\frac {\sqrt {3}}{3}$.又$b=-2$,所以直线方程为$y=\frac {\sqrt {3}}{3}x-2.$
(3)因为直线的倾斜角为$60^{\circ }$,所以其斜率$k=tan60^{\circ }=\sqrt {3}$.又$b=3$,所以所求直线方程为$y=\sqrt {3}x+3.$[母题探究] 解:因为直线的倾斜角为$60^{\circ },$所以其斜率$k=tan60^{\circ }=\sqrt {3}$.因为直线与y轴的交点到原点的距离为3,所以直线在y轴上的截距$b=3$或$b=-3$.所以所求直线方程为$y=\sqrt {3}x+3$或$y=\sqrt {3}x-3.$