《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

3. 已知在长方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,$ AB = BC = 2$,$ D_1D = 4 $,点 $ N $ 是 $ AB $ 的中点,点 $ M $ 是 $ B_1C_1 $ 的中点,以 $ 1 $ 为单位长度,建立如图所示的空间直角坐标系,写出点 $ D,N,M $ 的坐标。

解:由于 D 为坐标原点,所以$D(0,0,0),$因为$AB=BC=2,D_{1}D=4$,则$A(2,0,0),$$B(2,2,0),B_{1}(2,2,4),C_{1}(0,2,4),$因为点 N 是 AB 的中点,点 M 是$B_{1}C_{1}$的中点,所以$N(2,1,0),M(1,2,4).$

答案： 解:由于 D 为坐标原点,所以$D(0,0,0),$因为$AB=BC=2,D_{1}D=4$,则$A(2,0,0),$$B(2,2,0),B_{1}(2,2,4),C_{1}(0,2,4),$因为点 N 是 AB 的中点,点 M 是$B_{1}C_{1}$的中点,所以$N(2,1,0),M(1,2,4).$

二 空间向量的坐标表示
思考 同学们还记得相等向量吗？任给一个空间向量能用过原点的向量表示吗？能

答案： 能

(对接教材例 1)已知在直三棱柱 $ ABC - A_1B_1C_1 $ 中,$\angle BAC = 90^{\circ}$,$ AB = AC = AA_1 = 4 $,建立如图所示的空间直角坐标系,求向量 $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC_1},\overrightarrow{BC_1}$ 的坐标。

【解】 由题意可设$\frac {1}{4}\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{i},\frac {1}{4}\overrightarrow {AC}=\boldsymbol{j},\frac {1}{4}\overrightarrow {AA_{1}}=\boldsymbol{k},\overrightarrow {AB}=4\boldsymbol{i}+0\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(4,0,0),\overrightarrow {AC_{1}}=\overrightarrow {AA_{1}}+\overrightarrow {AC}=0\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(0,4,4),\overrightarrow {BC_{1}}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CC_{1}}=\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CC_{1}}=-4\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(-4,4,4).$

答案： 【解】 由题意可设$\frac {1}{4}\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{i},\frac {1}{4}\overrightarrow {AC}=\boldsymbol{j},\frac {1}{4}\overrightarrow {AA_{1}}=\boldsymbol{k},\overrightarrow {AB}=4\boldsymbol{i}+0\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(4,0,0),\overrightarrow {AC_{1}}=\overrightarrow {AA_{1}}+\overrightarrow {AC}=0\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(0,4,4),\overrightarrow {BC_{1}}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CC_{1}}=\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}+\overrightarrow {CC_{1}}=-4\boldsymbol{i}+4\boldsymbol{j}+4\boldsymbol{k}=(-4,4,4).$