《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1) 已知直线 $ l $ 的倾斜角为 $ 60^{\circ} $,且过点 $ (2,\sqrt{3}) $,则 $ l $ 在 $ y $ 轴上的截距为($-\sqrt{3}$)
A.-1
B.$ -\sqrt{3} $
C.1
D.$ \sqrt{3} $

答案： 解析:选 B.直线l的斜率为$tan60^{\circ }=\sqrt {3}$,方程为$y-\sqrt {3}=\sqrt {3}(x-2)$,当$x=0$时,$y=-\sqrt {3}$,所以l在y轴上的截距为$-\sqrt {3}.$

(2) 如果直线 $ l $ 的斜率和在 $ y $ 轴上的截距分别为直线 $ y = \frac{4}{3}x + 2 $ 的斜率的一半和在 $ y $ 轴上截距的两倍,那么直线 $ l $ 的斜截式方程为 $y=\frac {2}{3}x+4$。

答案： 解析:直线$y=\frac {4}{3}x+2$的斜率为$\frac {4}{3},$在y轴上的截距为2,则直线l的斜率为$\frac {2}{3}$,在y轴上的截距为$2×2=4$,故直线l的斜截式方程为$y=\frac {2}{3}x+4.$ 答案:$y=\frac {2}{3}x+4$

例 2
(对接教材例 2)已知直线 $ l_1:y = -x + 3a $ 与直线 $ l_2:y = (a^2 - 5)x + 6 $。
(1) 当 $ a $ 为何值时,$ l_1 // l_2 $？
(2) 当 $ a $ 为何值时,$ l_1 \perp l_2 $？
(1) $a = -2$；
(2) $a = \pm \sqrt{6}$。

答案：
(1) $a = -2$；
(2) $a = \pm \sqrt{6}$。

(1) (2025·潍坊月考)已知直线 $ l_1:y = kx + 1(k \in \mathbf{R}) $,直线 $ l_2:y = x + 1 $,则直线 $ l_1 $ 与 $ l_2 $ 的位置关系是(D)
A.平行
B.相交
C.重合
D.相交或重合

答案： D

(2) 若直线 $ l $ 与直线 $ y = - \frac{1}{2}x + 2 $ 平行,且它在 $ y $ 轴上的截距为 4,则直线 $ l $ 的斜截式方程为 $ y = -\frac{1}{2}x + 4 $。

答案： $ y = -\frac{1}{2}x + 4 $

1. (教材 $ P_{62}T_3 $ 改编)若直线 $ l $ 的斜率为 $ - \frac{1}{2} $,在 $ y $ 轴上的截距为 -1,则 $ l $ 的方程为(C)
A.$ y = - \frac{1}{2}(x + 1) $
B.$ y = - \frac{1}{2}(x - 1) $
C.$ y = - \frac{1}{2}x - 1 $
D.$ y = - \frac{1}{2}x + 1 $

答案： 解析:选 C.斜率为$-\frac {1}{2}$,在y轴上的截距为-1 的直线l 的方程为$y=-\frac {1}{2}x-1.$

2. (多选)已知两条直线 $ l_1:y - 3 = k(x - 1) $,$ l_2:y - 3 = - \frac{1}{k}(x - 2) $,则下列说法正确的是(ACD)
A.$ l_1 $ 与 $ l_2 $ 一定相交
B.$ l_1 $ 与 $ l_2 $ 一定平行
C.$ l_1 $ 与 $ l_2 $ 一定垂直
D.$ l_1 $ 与 $ l_2 $ 不可能平行

答案： 解析:选 ACD.两直线的斜率之积为-1,故$l_{1}$与$l_{2}$一定垂直并相交,A,C正确;当$k=-\frac {1}{k}$时,无实数解,故$l_{1}$与$l_{2}$不可能平行,D正确,B错误.

3. 若直线 $ l $ 经过点 $ A(1,-2) $ 且倾斜角为 $ \frac{\pi}{3} $,则直线 $ l $ 的点斜式方程是 $y+2=\sqrt {3}(x-1)$。

答案： 解析:由直线l的倾斜角为$\frac {π}{3}$,得直线l的斜率$k=tan\frac {π}{3}=\sqrt {3}$,又直线l过点$A(1,-2)$,所以直线l的点斜式方程是$y+2=\sqrt {3}(x-1).$ 答案:$y+2=\sqrt {3}(x-1)$

4. (教材 $ P_{62}T_4 $ 改编)判断下列各组直线是否平行或垂直。
(1) $ l_1:y = 4x - 1 $,$ l_2:y = 4x + 1 $；
(2) $ l_1:y = 3x + 2 $,$ l_2:y = - \frac{1}{3}x + 1 $；
(3) $ l_1:y = -2 $,$ l_2:x = -1 $。
解:
(1)设两条直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}$,在y轴上的截距分别为$b_{1},b_{2}$,则由$l_{1},l_{2}$的方程可知$k_{1}=k_{2}=4$,且$b_{1}≠b_{2}$,所以$l_{1}// l_{2}.(2)$设两条直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}$,则$k_{1}=3,k_{2}=-\frac {1}{3}$,因为$k_{1}k_{2}=3×(-\frac {1}{3})=-1$,所以$l_{1}⊥l_{2}.(3)$直线$l_{1}$的斜率为0,直线$l_{2}$的斜率不存在,所以$l_{1}⊥l_{2}.$

答案： 解:
(1)设两条直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}$,在y轴上的截距分别为$b_{1},b_{2}$,则由$l_{1},l_{2}$的方程可知$k_{1}=k_{2}=4$,且$b_{1}≠b_{2}$,所以$l_{1}// l_{2}.(2)$设两条直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}$,则$k_{1}=3,k_{2}=-\frac {1}{3}$,因为$k_{1}k_{2}=3×(-\frac {1}{3})=-1$,所以$l_{1}⊥l_{2}.(3)$直线$l_{1}$的斜率为0,直线$l_{2}$的斜率不存在,所以$l_{1}⊥l_{2}.$