《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 直线与直线垂直
思考

如图,直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 的方向向量分别为 $ \boldsymbol{u}_1 $,$ \boldsymbol{u}_2 $,当直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 垂直时,$ \boldsymbol{u}_1 $,$ \boldsymbol{u}_2 $ 之间有什么关系？
解：若两直线垂直，则它们的方向向量也垂直。
根据向量垂直的性质，若$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$为两向量，当$\boldsymbol{u}_1\perp\boldsymbol{u}_2$时，$\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$。
所以当直线$l_1$，$l_2$垂直时，$\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$。

答案： 解：若两直线垂直，则它们的方向向量也垂直。
根据向量垂直的性质，若$\boldsymbol{u}_1$，$\boldsymbol{u}_2$为两向量，当$\boldsymbol{u}_1\perp\boldsymbol{u}_2$时，$\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$。
所以当直线$l_1$，$l_2$垂直时，$\boldsymbol{u}_1\cdot\boldsymbol{u}_2 = 0$。

设直线 $ l_1 $,$ l_2 $ 的方向向量分别为 $ \boldsymbol{u}_1 $,$ \boldsymbol{u}_2 $,则 $ l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0$。

答案： 答题卡：
根据题意，设直线 $l_1$ 和 $l_2$ 的方向向量分别为 $\boldsymbol{u}_1$ 和 $\boldsymbol{u}_2$。
两直线垂直的充要条件是它们的方向向量垂直，即：
$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2$，
两向量垂直的充要条件是它们的点积为0，即：
$\boldsymbol{u}_1 \perp \boldsymbol{u}_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0$，
综合以上两点，得出：
$l_1 \perp l_2 \Leftrightarrow \boldsymbol{u}_1 \cdot \boldsymbol{u}_2 = 0$。

（由于您未提供可直接编辑的题目文本及明确的答题空位置，仅能根据现有信息呈现答案内容。实际操作中需将以下解答过程填入题目指定的答题区域。）

1. 首先建立空间直角坐标系：
设$AA_{1}=1$，因为$AD = 2A_{1}D_{1}=2AA_{1}$，底面$ABCD$是正方形，$AA_{1}\perp$平面$ABCD$。以$A$为原点，分别以$AB$，$AD$，$AA_{1}$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系。
则$A(0,0,0)$，$D(0,2,0)$，$D_{1}(0,1,1)$，$C(2,2,0)$。
2. 然后求向量$\overrightarrow{AD_{1}}$和$\overrightarrow{CD_{1}}$的坐标：
根据向量坐标运算，若$M(x_1,y_1,z_1)$，$N(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{MN}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1,z_2 - z_1)$。
所以$\overrightarrow{AD_{1}}=(0 - 0,1 - 0,1 - 0)=(0,1,1)$，$\overrightarrow{CD_{1}}=(0 - 2,1 - 2,1 - 0)=(-2,-1,1)$。
3. 最后计算向量的数量积：
根据向量数量积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2$（其中$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$）。
计算$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}$，$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}=0×(-2)+1×(-1)+1×1$。
即$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}=-1 + 1=0$。
因为$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}} = 0$，所以$\overrightarrow{AD_{1}}\perp\overrightarrow{CD_{1}}$，即$AD_{1}\perp CD_{1}$。

答案： 1. 首先建立空间直角坐标系：
设$AA_{1}=1$，因为$AD = 2A_{1}D_{1}=2AA_{1}$，底面$ABCD$是正方形，$AA_{1}\perp$平面$ABCD$。以$A$为原点，分别以$AB$，$AD$，$AA_{1}$所在直线为$x$轴，$y$轴，$z$轴建立空间直角坐标系。
则$A(0,0,0)$，$D(0,2,0)$，$D_{1}(0,1,1)$，$C(2,2,0)$。
2. 然后求向量$\overrightarrow{AD_{1}}$和$\overrightarrow{CD_{1}}$的坐标：
根据向量坐标运算，若$M(x_1,y_1,z_1)$，$N(x_2,y_2,z_2)$，则$\overrightarrow{MN}=(x_2 - x_1,y_2 - y_1,z_2 - z_1)$。
所以$\overrightarrow{AD_{1}}=(0 - 0,1 - 0,1 - 0)=(0,1,1)$，$\overrightarrow{CD_{1}}=(0 - 2,1 - 2,1 - 0)=(-2,-1,1)$。
3. 最后计算向量的数量积：
根据向量数量积公式$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=x_1x_2 + y_1y_2+z_1z_2$（其中$\overrightarrow{a}=(x_1,y_1,z_1)$，$\overrightarrow{b}=(x_2,y_2,z_2)$）。
计算$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}$，$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}=0×(-2)+1×(-1)+1×1$。
即$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}}=-1 + 1=0$。
因为$\overrightarrow{AD_{1}}\cdot\overrightarrow{CD_{1}} = 0$，所以$\overrightarrow{AD_{1}}\perp\overrightarrow{CD_{1}}$，即$AD_{1}\perp CD_{1}$。