《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

二 双曲线的标准方程
思考 类比椭圆的方程,结合双曲线的形成过程,怎样建立坐标系才使双曲线的方程更简单些？
以双曲线两焦点的连线为坐标轴，两焦点中点为坐标原点建立坐标系

答案： 以双曲线两焦点的连线为坐标轴，两焦点中点为坐标原点建立坐标系

（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为①，焦点坐标为③；
（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为②，焦点坐标为④；
（3）双曲线中，$a$，$b$，$c$的关系为$c^2=$⑤。

答案： ①$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$　②$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$　③$F_{1}(-c,0)$,$F_{2}(c,0)$　④$F_{1}(0,-c)$,$F_{2}(0,c)$　⑤$a^{2}+b^{2}$

[例1](对接教材例1)求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)焦点为$(2,0)$,$(-2,0)$,且双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为$2$；
(2)焦点在$y$轴上,焦距为$10$,且经过点$(0,4)$；
(3)经过点$(2,\sqrt{3})$,$(-\sqrt{5},2)$.
(1)因为双曲线的焦点在x轴上，故可设方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，又焦点为$(2,0)$，$(-2,0)$，故可得$c=2$，又双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2，即$2a=2$，则$a=1$，又$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4 - 1=3$.故双曲线的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，故可设双曲线方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，又其焦距为10，故可得$2c=10$，$c=5$.又该双曲线过点$(0,4)$，代入双曲线方程可得$a=4$，故$b^{2}=c^{2}-a^{2}=25 - 16=9$，故双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$.
(3)设双曲线方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(mn＜0)$，因其过点$(2,\sqrt{3})$，$(-\sqrt{5},2)$，故可得$\begin{cases}4m + 3n=1\\5m + 4n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=-1\end{cases}$，故所求双曲线的标准方程为$x^{2}-y^{2}=1$.

答案：
(1)因为双曲线的焦点在x轴上，故可设方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，又焦点为$(2,0)$，$(-2,0)$，故可得$c=2$，又双曲线上的一点到两个焦点的距离之差的绝对值为2，即$2a=2$，则$a=1$，又$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4 - 1=3$.故双曲线的标准方程为$x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1$.
(2)因为双曲线的焦点在y轴上，故可设双曲线方程为$\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，又其焦距为10，故可得$2c=10$，$c=5$.又该双曲线过点$(0,4)$，代入双曲线方程可得$a=4$，故$b^{2}=c^{2}-a^{2}=25 - 16=9$，故双曲线的标准方程为$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{9}=1$.
(3)设双曲线方程为$mx^{2}+ny^{2}=1(mn＜0)$，因其过点$(2,\sqrt{3})$，$(-\sqrt{5},2)$，故可得$\begin{cases}4m + 3n=1\\5m + 4n=1\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=1\\n=-1\end{cases}$，故所求双曲线的标准方程为$x^{2}-y^{2}=1$.

[跟踪训练1] 求适合下列条件的双曲线的标准方程：
(1)$a = 3$,$c = 4$,焦点在$x$轴上；
(2)焦点为$(0,-6)$,$(0,6)$,经过点$A(-5,6)$；
(3)与双曲线$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}= 1$有相同的焦点,且经过点$(3\sqrt{2},2)$.
(1)由题设知，$a=3$，$c=4$，由$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，得$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4^{2}-3^{2}=7$.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$.
(2)由已知得$c=6$，且焦点在y轴上.因为点$A(-5,6)$在双曲线上，所以点A与两个焦点的距离的差的绝对值为$2a=\left|\sqrt{(-5 - 0)^{2}+(6 + 6)^{2}}-\sqrt{(-5 - 0)^{2}+(6 - 6)^{2}}\right|=\left|13 - 5\right|=8$，则$a=4$，$b^{2}=c^{2}-a^{2}=6^{2}-4^{2}=20$.因此，所求双曲线的标准方程是$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1$.
(3)设所求双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，由题设知，$a^{2}+b^{2}=c^{2}=16 + 4=20$，且$\frac{18}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1$，联立方程组，解得$a^{2}=12$，$b^{2}=8$，所以所求双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1$.

答案：
(1)由题设知，$a=3$，$c=4$，由$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，得$b^{2}=c^{2}-a^{2}=4^{2}-3^{2}=7$.因为双曲线的焦点在x轴上，所以所求双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{7}=1$.
(2)由已知得$c=6$，且焦点在y轴上.因为点$A(-5,6)$在双曲线上，所以点A与两个焦点的距离的差的绝对值为$2a=\left|\sqrt{(-5 - 0)^{2}+(6 + 6)^{2}}-\sqrt{(-5 - 0)^{2}+(6 - 6)^{2}}\right|=\left|13 - 5\right|=8$，则$a=4$，$b^{2}=c^{2}-a^{2}=6^{2}-4^{2}=20$.因此，所求双曲线的标准方程是$\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{20}=1$.
(3)设所求双曲线的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，由题设知，$a^{2}+b^{2}=c^{2}=16 + 4=20$，且$\frac{18}{a^{2}}-\frac{4}{b^{2}}=1$，联立方程组，解得$a^{2}=12$，$b^{2}=8$，所以所求双曲线的标准方程为$\frac{x^{2}}{12}-\frac{y^{2}}{8}=1$.