《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

例1 根据下列给定的条件,判断直线 $ l_{1} $ 与直线 $ l_{2} $ 的位置关系.
(1) $ l_{1} $ 经过点 $ A(2,1) $,$ B(-3,5) $,$ l_{2} $ 经过点 $ C(3,-3) $,$ D(8,-7) $；
(2) $ l_{1} $ 的倾斜角为 $ 60^{\circ} $,$ l_{2} $ 经过点 $ M(3,2\sqrt{3}) $,$ N(-2,-3\sqrt{3}) $.
【解】
(1)设两直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}.$由题意知$k_{1}=\frac {5 - 1}{-3 - 2}=-\frac {4}{5},k_{2}=\frac {-7 + 3}{8 - 3}=-\frac {4}{5}.$因为$k_{1}=k_{2}$，又$k_{AC}=\frac {-3 - 1}{3 - 2}=-4$，所以$k_{1}≠k_{AC}$，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以$l_{1}// l_{2}.$
(2)设两直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}.$由题意知$k_{1}=tan60^{\circ }=\sqrt {3},k_{2}=\frac {-3\sqrt {3}-2\sqrt {3}}{-2 - 3}=\sqrt {3}$，所以$k_{1}=k_{2}$，所以$l_{1}// l_{2}$或$l_{1}$与$l_{2}$重合.

答案： 【解】
(1)设两直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}.$由题意知$k_{1}=\frac {5 - 1}{-3 - 2}=-\frac {4}{5},k_{2}=\frac {-7 + 3}{8 - 3}=-\frac {4}{5}.$因为$k_{1}=k_{2}$，又$k_{AC}=\frac {-3 - 1}{3 - 2}=-4$，所以$k_{1}≠k_{AC}$，所以A，B，C三点不共线，所以A，B，C，D四点不共线，所以$l_{1}// l_{2}.$
(2)设两直线$l_{1},l_{2}$的斜率分别为$k_{1},k_{2}.$由题意知$k_{1}=tan60^{\circ }=\sqrt {3},k_{2}=\frac {-3\sqrt {3}-2\sqrt {3}}{-2 - 3}=\sqrt {3}$，所以$k_{1}=k_{2}$，所以$l_{1}// l_{2}$或$l_{1}$与$l_{2}$重合.

(1)已知 $ A(1,1) $,$ B(4,-2) $,$ C(6,0) $,$ D(4,4) $,则直线 $ AD $ 与 $ BC $ 的位置关系是(B)
A.垂直
B.平行
C.重合
D.相交但不垂直

答案： B

(2)(2025·福州期中)已知过点 $ A(-3,m) $ 和 $ B(m,9) $ 的直线与斜率为 $ 2 $ 的直线平行,则 $ m $ 的值为1.

答案： 1

二 两条直线垂直的判定
思考 平面中,两条直线 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 的斜率分别为 $ k_{1} $,$ k_{2} $,则两条直线的方向向量分别为 $ \boldsymbol{a}= (1,k_{1}) $,$ \boldsymbol{b}= (1,k_{2}) $,当两条直线互相垂直时,可以得出什么结论？
$\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0\Leftrightarrow 1 + k_{1}k_{2}=0.$

答案： $\boldsymbol{a}\perp \boldsymbol{b}\Leftrightarrow \boldsymbol{a}\cdot \boldsymbol{b}=0\Leftrightarrow 1 + k_{1}k_{2}=0.$

答案： ①$k_{1}k_{2}=-1$　②$l_{1}⊥l_{2}$

例2 判断下列两条直线是否垂直.
(1)直线 $ l_{1} $ 的斜率为 $ -10 $,直线 $ l_{2} $ 经过点 $ A(10,4) $,$ B(20,3) $；
(2)直线 $ l_{1} $ 经过点 $ A(3,4) $,$ B(3,7) $,直线 $ l_{2} $ 经过点 $ P(-2,4) $,$ Q(2,4) $；
(3)直线 $ l_{1} $ 的方向向量为 $ (1,2) $,直线 $ l_{2} $ 的方向向量为 $ (2,-1) $.
【解】
(1)直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=-10$，直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=\frac {3 - 4}{20 - 10}=-\frac {1}{10}$，因为$k_{1}k_{2}=-10×(-\frac {1}{10})=1$，所以$l_{1}$与$l_{2}$不垂直.
(2)直线$l_{1}$的斜率不存在，故$l_{1}$与x轴垂直，直线$l_{2}$的斜率为0，故直线$l_{2}$与x轴平行，所以$l_{1}$与$l_{2}$垂直.
(3)因为直线$l_{1}$的方向向量为$(1,2)$，所以直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=2$.因为直线$l_{2}$的方向向量为$(2,-1)$，所以直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=-\frac {1}{2}$，$k_{1}k_{2}=2×(-\frac {1}{2})=-1$，所以$l_{1}$与$l_{2}$垂直.

答案： 【解】
(1)直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=-10$，直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=\frac {3 - 4}{20 - 10}=-\frac {1}{10}$，因为$k_{1}k_{2}=-10×(-\frac {1}{10})=1$，所以$l_{1}$与$l_{2}$不垂直.
(2)直线$l_{1}$的斜率不存在，故$l_{1}$与x轴垂直，直线$l_{2}$的斜率为0，故直线$l_{2}$与x轴平行，所以$l_{1}$与$l_{2}$垂直.
(3)因为直线$l_{1}$的方向向量为$(1,2)$，所以直线$l_{1}$的斜率$k_{1}=2$.因为直线$l_{2}$的方向向量为$(2,-1)$，所以直线$l_{2}$的斜率$k_{2}=-\frac {1}{2}$，$k_{1}k_{2}=2×(-\frac {1}{2})=-1$，所以$l_{1}$与$l_{2}$垂直.