《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(2025·深圳期中)如图,在四棱锥 $P - ABCD$ 中,$AB// CD$,且 $\angle BAP = \angle CDP = 90^{\circ}$。

1. 证明：平面 $PAB\perp$ 平面 $PAD$；
2. 若 $PA = PD = AB = DC = 2$,$\angle APD = 90^{\circ}$,求二面角 $A - PB - C$ 的余弦值。
2.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 2.$-\frac{\sqrt{3}}{3}$

1. 已知点 $A(2,2,3)$,$B(1,2,2)$,$C(0,0,-1)$,$D(2,2,-1)$,则异面直线 $AB$ 与 $CD$ 所成的角为(C)
A.$\dfrac{2\pi}{3}$
B.$\dfrac{5\pi}{6}$
C.$\dfrac{\pi}{3}$
D.$\dfrac{\pi}{6}$

答案： C

2. (多选)已知 $\cos\langle\boldsymbol{a},\boldsymbol{b}\rangle = -\dfrac{1}{3}$,则下列说法正确的是(ABD)
A.若 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 分别是直线 $l_1$,$l_2$ 的方向向量,则 $l_1$,$l_2$ 所成角的余弦值是 $\dfrac{1}{3}$
B.若 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 分别是直线 $l$ 的方向向量与平面 $\alpha$ 的法向量,则 $l$ 与 $\alpha$ 所成角的正弦值是 $\dfrac{1}{3}$
C.若 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 分别是平面 $ABC$,平面 $BCD$ 的法向量,则二面角 $A - BC - D$ 的余弦值是 $\dfrac{1}{3}$
D.若 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$ 分别是直线 $l$ 的方向向量与平面 $\alpha$ 的法向量,则 $l$ 与 $\alpha$ 所成角的余弦值是 $\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

答案： ABD

3. (教材 $P_{41}T_3$ 改编)已知三棱锥 $O - ABC$ 中,$OA$,$OB$,$OC$ 两两垂直,$OA = OC = 2$,$OB = 1$,则直线 $OB$ 与平面 $ABC$ 所成角的正弦值为 $\underline{$\frac{\sqrt{6}}{3}$}$。

答案： $\frac{\sqrt{6}}{3}$

4. 如图,在正四棱柱 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$M$ 为 $DD_1$ 的中点,$AB = 1$,$AA_1 = 2$。

1. 求证：$B_1M\perp$ 平面 $AMC$；
2. 求平面 $AMC$ 与平面 $B_1AC$ 夹角的余弦值。
2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$

答案： 2.$\frac{\sqrt{3}}{3}$