《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 椭圆中的焦点三角形问题
[例 1] 已知 $ P $ 为椭圆 $ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{3}= 1 $ 上一点,$ F_{1} $,$ F_{2} $ 是椭圆的焦点,$ \angle F_{1} P F_{2}= 60^{\circ} $,求 $ \triangle F_{1} P F_{2} $ 的面积。
【解】由已知得c=3,所以|F₁F₂|=6.在△F₁PF₂中,由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|·|PF₂|·cos60°,即36=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|·|PF₂|.①
由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=4√3,两边平方得48=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|·|PF₂|.②
由①②得|PF₁|·|PF₂|=4,所以S△F₁PF₂=1/2|PF₁|·|PF₂|·sin60°=√3.
母题探究 1 若将本例中“$ \angle F_{1} P F_{2}= 60^{\circ} $”去掉,求 $ \triangle F_{1} P F_{2} $ 的面积的最大值。
解:因为S△F₁PF₂=1/2|F₁F₂|·|yₚ|,所以当|yₚ|取最大值时,△F₁PF₂的面积最大,易知|yₚ|max=√3.所以△F₁PF₂的面积的最大值为1/2|F₁F₂|·|yₚ|max=1/2×6×√3=3√3.
母题探究 2 若将本例中“$ \angle F_{1} P F_{2}= 60^{\circ} $”变为“$ \angle F_{1} P F_{2}= \theta $”,问 $ P $ 位于椭圆的什么位置时,$ \theta $ 最大？
解:在△F₁PF₂中,由余弦定理的推论知cosθ=(|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²)/(2|PF₁||PF₂|)=((|PF₁|+|PF₂|)²-2|PF₁||PF₂|-36)/(2|PF₁||PF₂|)=12/(2|PF₁||PF₂|)-1≥24/(|PF₁|+|PF₂|)²-1=1/2-1=-1/2,当且仅当|PF₁|=|PF₂|时,等号成立,由于y=cosx在(0,π)上单调递减,所以当点P位于椭圆与y轴的交点时θ取最大值.

答案： 【解】由已知得c=3,所以|F₁F₂|=6.在△F₁PF₂中,由余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁|·|PF₂|·cos60°,即36=|PF₁|²+|PF₂|²-|PF₁|·|PF₂|.①
由椭圆的定义得|PF₁|+|PF₂|=4√3,两边平方得48=|PF₁|²+|PF₂|²+2|PF₁|·|PF₂|.②
由①②得|PF₁|·|PF₂|=4,所以S△F₁PF₂=1/2|PF₁|·|PF₂|·sin60°=√3.
母题探究1 解:因为S△F₁PF₂=1/2|F₁F₂|·|yₚ|,所以当|yₚ|取最大值时,△F₁PF₂的面积最大,易知|yₚ|max=√3.所以△F₁PF₂的面积的最大值为1/2|F₁F₂|·|yₚ|max=1/2×6×√3=3√3.
母题探究2 解:在△F₁PF₂中,由余弦定理的推论知cosθ=(|PF₁|²+|PF₂|²-|F₁F₂|²)/(2|PF₁||PF₂|)=((|PF₁|+|PF₂|)²-2|PF₁||PF₂|-36)/(2|PF₁||PF₂|)=12/(2|PF₁||PF₂|)-1≥24/(|PF₁|+|PF₂|)²-1=1/2-1=-1/2,当且仅当|PF₁|=|PF₂|时,等号成立,由于y=cosx在(0,π)上单调递减,所以当点P位于椭圆与y轴的交点时θ取最大值.