《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

例 1(对接教材例 1)如图所示,在四棱锥 $M - ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 是正方形,$N$ 是 $CM$ 的中点,设 $\boldsymbol{a}= \overrightarrow{DA}$,$\boldsymbol{b}= \overrightarrow{DC}$,$\boldsymbol{c}= \overrightarrow{DM}$,试以 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 为基向量表示出向量 $\overrightarrow{BN}$.

母题探究 在本例中,若只把条件“$\boldsymbol{a}= \overrightarrow{DA}$,$\boldsymbol{b}= \overrightarrow{DC}$,$\boldsymbol{c}= \overrightarrow{DM}$”变为“$\boldsymbol{a}= \overrightarrow{AB}$,$\boldsymbol{b}= \overrightarrow{AD}$,$\boldsymbol{c}= \overrightarrow{AM}$”,再以 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 为基向量表示出向量 $\overrightarrow{BN}$.
【例1】【解】 因为 N 是 CM 的中点，底面 ABCD 是正方形,所以$\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CN}=-\overrightarrow {DA}+\frac {1}{2}\overrightarrow {CM}=-\overrightarrow {DA}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {DM}-\overrightarrow {DC})=-a-\frac {1}{2}b+\frac {1}{2}c.$ [母题探究] 解:连接 AC(图略),$\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CN}=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {CM}=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {AM}-\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {AM}-\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD})=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AM}=-\frac {1}{2}a+\frac {1}{2}b+\frac {1}{2}c.$

答案： 【例1】【解】 因为 N 是 CM 的中点，底面 ABCD 是正方形,所以$\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CN}=-\overrightarrow {DA}+\frac {1}{2}\overrightarrow {CM}=-\overrightarrow {DA}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {DM}-\overrightarrow {DC})=-a-\frac {1}{2}b+\frac {1}{2}c.$ [母题探究] 解:连接 AC(图略),$\overrightarrow {BN}=\overrightarrow {BC}+\overrightarrow {CN}=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {CM}=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {AM}-\overrightarrow {AC})=\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {AM}-\overrightarrow {AB}-\overrightarrow {AD})=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AM}=-\frac {1}{2}a+\frac {1}{2}b+\frac {1}{2}c.$

跟踪训练 1 如图,在三棱柱 $ABC - A_{1}B_{1}C_{1}$ 中,$D$,$E$ 分别是线段 $B_{1}C_{1}$,$A_{1}D$ 的中点,设 $\overrightarrow{AA_{1}}= \boldsymbol{a}$,$\overrightarrow{AB}= \boldsymbol{b}$,$\overrightarrow{AC}= \boldsymbol{c}$. 用 $\boldsymbol{a}$,$\boldsymbol{b}$,$\boldsymbol{c}$ 表示 $\overrightarrow{AE}= $$\boldsymbol{a}+\frac{1}{4}\boldsymbol{b}+\frac{1}{4}\boldsymbol{c}$.

答案： $a+\frac {1}{4}b+\frac {1}{4}c$