《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例3](1)已知e,e2,e3为空间三个不共面的向量,向量a= e1+μe2+4e3,b= 3e1+9e2+λe3,若a与b共线,则λ+μ= (D)
A.-3
B.3
C.-15
D.15

答案：
(1)D

(2)已知tER,A,B,C三点不共线,O为平面ABC外任意一点.若AP= 一$\frac{1}{4}$OA+$\frac{1}{6}$OB+ tOC,且A,B,C,P四点共面,则t= $\frac{1}{12}$.

答案： $\frac{1}{12}$

[跟踪训练3](1)已知动点Q在△ABC所在平面内运动,若对于空间中不在平面ABC上的任意一点P,都有PQ= -2PA+5PB+mCP,则实数m的值为 (B)
A.0
B.2
C.-1
D.-2

答案：
(1)B

(2)设a,b是空间中两个不共线的向量,已知
AB= 9a+mb,BC= -2a-b,CD= -a+2b,且A,B,D三点共线,则实数m= −3.

答案：
(2)−3

[例4](对接教材例1)在四棱柱$A_1B_1C_1D_1$ABCD-$AB_1CD$中,

$D_1E= kD_1A$,$D_1F= kD_1B$,
$D_1G= kD_1C$,$D_1H= kD_1D$.
(1)当$k= \frac{3}{4}$时,试用$\overrightarrow{AB}$,$\overrightarrow{AD}$,$\overrightarrow{AA_1}$表示$\overrightarrow{AF}$;
(2)证明:E,F,G,H四点共面.
(1)在四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}$，因为$k=\frac{3}{4}$，所以$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1F}-\overrightarrow{D_1E}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\frac{3}{4}\overrightarrow{D_1B}-\frac{3}{4}\overrightarrow{D_1A}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD})+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.
(2)证明:设$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}(\lambda,\mu\neq0)$，$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{D_1G}-\overrightarrow{D_1E}=k\overrightarrow{D_1C}-k\overrightarrow{D_1A}=k\overrightarrow{AC}=k(\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD})=k\lambda\overrightarrow{AB}+k\mu\overrightarrow{AD}=\lambda k(\overrightarrow{D_1B}-\overrightarrow{D_1A})+\mu k(\overrightarrow{D_1D}-\overrightarrow{D_1A})=\lambda(\overrightarrow{D_1F}-\overrightarrow{D_1E})+\mu(\overrightarrow{D_1H}-\overrightarrow{D_1E})=\lambda\overrightarrow{EF}+\mu\overrightarrow{EH}$，则$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{EG}$，$\overrightarrow{EH}$共面且有公共点E，则E,F,G,H四点共面.

答案：
(1)在四棱柱$ABCD - A_1B_1C_1D_1$中，$\overrightarrow{AD_1}=\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD}$，因为$k=\frac{3}{4}$，所以$\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\overrightarrow{D_1F}-\overrightarrow{D_1E}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\frac{3}{4}\overrightarrow{D_1B}-\frac{3}{4}\overrightarrow{D_1A}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AD_1}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AA_1}+\overrightarrow{AD})+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AA_1}+\frac{1}{4}\overrightarrow{AD}+\frac{3}{4}\overrightarrow{AB}$.
(2)证明:设$\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD}(\lambda,\mu\neq0)$，$\overrightarrow{EG}=\overrightarrow{D_1G}-\overrightarrow{D_1E}=k\overrightarrow{D_1C}-k\overrightarrow{D_1A}=k\overrightarrow{AC}=k(\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AD})=k\lambda\overrightarrow{AB}+k\mu\overrightarrow{AD}=\lambda k(\overrightarrow{D_1B}-\overrightarrow{D_1A})+\mu k(\overrightarrow{D_1D}-\overrightarrow{D_1A})=\lambda(\overrightarrow{D_1F}-\overrightarrow{D_1E})+\mu(\overrightarrow{D_1H}-\overrightarrow{D_1E})=\lambda\overrightarrow{EF}+\mu\overrightarrow{EH}$，则$\overrightarrow{EF}$，$\overrightarrow{EG}$，$\overrightarrow{EH}$共面且有公共点E，则E,F,G,H四点共面.