《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1)已知直线 $l$ 经过第二、四象限,则直线 $l$ 的倾斜角的取值范围是 (C)
A.$0^{\circ} \leq \alpha \lt 90^{\circ}$
B.$90^{\circ} \leq \alpha \lt 180^{\circ}$
C.$90^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ}$
D.$0^{\circ} \lt \alpha \lt 180^{\circ}$

答案： C

(2)如图,已知直线 $l_1$ 的倾斜角为 $150^{\circ}$,$l_2\perp l_1$,垂足为 $B$,$l_1$,$l_2$ 与 $x$ 轴分别相交于点 $C$,$A$,$l_3$ 平分 $\angle BAC$,则直线 $l_3$ 的倾斜角为 30°。

答案： 30°

二 直线的斜率
思考 日常生活中,常用坡度($$坡度 = \frac{升高量}{前进量}$$)表示倾斜程度,例如,“进 $2$ 升 $3$”与“进 $2$ 升 $2$”比较,前者更陡一些,因为坡度 $\frac{3}{2} \gt \frac{2}{2}$。在平面直角坐标系中,我们能否用“坡度”的计算方法来刻画直线的倾斜程度？
当直线的倾斜角为锐角时,直线的斜率与坡度是类似的,可以利用倾斜角的正切值,即$k=\tan\alpha(\alpha≠\frac{\pi}{2})$来刻画直线的倾斜程度.

答案： 当直线的倾斜角为锐角时,直线的斜率与坡度是类似的,可以利用倾斜角的正切值,即$k=\tan\alpha(\alpha≠\frac{\pi}{2})$来刻画直线的倾斜程度.

1. 定义：把一条直线的倾斜角 $\alpha$ 的 ①正切值叫做这条直线的斜率。斜率常用小写字母 $k$ 表示,即 $k = $ ②$\tan\alpha$。倾斜角是 ③90°的直线没有斜率,倾斜角不是 $90^{\circ}$ 的直线都有斜率。

答案： ①正切值 ②$\tan\alpha$ ③90°

2. 公式：如果直线经过两点 $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$($x_1 \neq x_2$),那么可得斜率公式 $k = $ ④$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$。

答案： ④$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

3. 直线的方向向量：设 $P_1(x_1,y_1)$,$P_2(x_2,y_2)$(其中 $x_1 \neq x_2$)是直线 $l$ 上的两点,则向量 $\overrightarrow{P_1P_2} = (x_2 - x_1,y_2 - y_1)$ 以及与它平行的非零向量都是直线的 ⑤方向向量。若直线 $l$ 的斜率为 $k$,它的一个方向向量的坐标为 $(x,y)$($x \neq 0$),则 $k = $ ⑥$\frac{y}{x}$。

答案： ⑤方向向量 ⑥$\frac{y}{x}$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1)若直线的斜率存在,则必有倾斜角与之对应。(√)
(2)若直线的倾斜角存在,则必有斜率与之对应。(×)
(3)若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等。(×)
(4)若直线 $l$ 的一个方向向量的坐标为 $(x_0,y_0)$,则 $l$ 的斜率为 $\frac{y_0}{x_0}$。(×)

答案：
(1)√
(2)×
(3)×
(4)×

2. (多选)(2025·南阳期中)已知直线 $l_1$,$l_2$,$l_3$ 的斜率分别是 $k_1$,$k_2$,$k_3$,倾斜角分别是 $\alpha$,$\beta$,$\gamma$,且 $\alpha \lt \beta \lt \gamma$,则下列关系可能正确的是 (ABD)
A.$k_1 \lt k_2 \lt k_3$
B.$k_3 \lt k_1 \lt k_2$
C.$k_3 \lt k_2 \lt k_1$
D.$k_2 \lt k_3 \lt k_1$

答案： ABD

3. 已知 $a = (-1,\sqrt{3})$ 是直线 $l$ 的一个方向向量,则 $l$ 的斜率为 $-\sqrt{3}$。

答案： $-\sqrt{3}$

4. 若经过 $A(m,2)$,$B(1,2m - 1)$ 两点的直线的倾斜角为 $135^{\circ}$,则 $m = $2,该直线的一个方向向量 $\mu =$(1,-1)。

答案： 2 (1,-1)(答案不唯一)

判断下列三点是否在同一条直线上：
(1)$A(-3,1)$,$B(2,-4)$,$C(3,0)$；
(2)$D(5,-1)$,$E(-1,2)$,$F(-5,4)$。

答案：
(1)因为$k_{AB}=\frac{1+4}{-3-2}=-1$,$k_{AC}=\frac{1-0}{-3-3}=-\frac{1}{6}$,所以$k_{AB}≠k_{AC}$,所以A,B,C三点不在同一条直线上.
(2)因为$k_{DE}=\frac{-1-2}{5+1}=-\frac{1}{2}$,$k_{DF}=\frac{-1-4}{5+5}=-\frac{1}{2}$,所以$k_{DE}=k_{DF}$,又直线DE与直线DF有公共点D,所以D,E,F三点在同一条直线上.