《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1)已知平面内两直线 $ l_{1} $,$ l_{2} $ 的斜率分别为 $ k_{1} $,$ k_{2} $,且 $ k_{1} $,$ k_{2} $ 是方程 $ x^{2}+x - 1 = 0 $ 的两根,则 $ l_{1} $ 与 $ l_{2} $ 的位置关系为(B)
A.平行
B.相交且垂直
C.重合
D.相交且不垂直

答案： B

(2)已知直线 $ l_{1} $ 经过点 $ A(3,a) $,$ B(a - 2,3) $,直线 $ l_{2} $ 经过点 $ C(2,3) $,$ D(-1,a - 2) $,若 $ l_{1}\perp l_{2} $,则 $ a $ 的值为0或5.

答案： 0或5

例3(对接教材例5)

已知四边形 $ ABCD $ 的四个顶点坐标分别为 $ A(5,-1) $,$ B(1,1) $,$ C(2,3) $,$ D(4,2) $.试判断四边形 $ ABCD $ 的形状,并给出证明.
母题探究
本题条件“$ B(1,1) $”变为“$ B(x,y) $”,当四边形 $ ABCD $ 是平行四边形时,求 $ x $,$ y $.
【解】由已知可判断四边形ABCD是直角梯形.证明如下:由题意得$k_{CD}=\frac {2 - 3}{4 - 2}=-\frac {1}{2}$，$k_{AB}=\frac {1 - (-1)}{1 - 5}=-\frac {1}{2}$，$k_{BC}=\frac {3 - 1}{2 - 1}=2$，$k_{AD}=\frac {2 - (-1)}{4 - 5}=-3$，所以$k_{CD}=k_{AB}$，$k_{BC}≠k_{AD}$，即$AB// CD$且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为$k_{BC}\cdot k_{CD}=k_{BC}\cdot k_{AB}=-1$，所以$BC⊥CD$，$BC⊥AB$，综上，四边形ABCD是直角梯形.
母题探究解:由本例解析知，$k_{CD}=-\frac {1}{2}$，$k_{AD}=-3$，$k_{AB}=\frac {y - (-1)}{x - 5}=\frac {y + 1}{x - 5}$，$k_{BC}=\frac {y - 3}{x - 2}$，因为四边形ABCD是平行四边形，所以$k_{CD}=k_{AB}$，$k_{BC}=k_{AD}$，所以$\frac {y + 1}{x - 5}=-\frac {1}{2}$，$\frac {y - 3}{x - 2}=-3$，联立解得$x = 3$，$y = 0$.

答案： 【解】由已知可判断四边形ABCD是直角梯形.证明如下:由题意得$k_{CD}=\frac {2 - 3}{4 - 2}=-\frac {1}{2}$，$k_{AB}=\frac {1 - (-1)}{1 - 5}=-\frac {1}{2}$，$k_{BC}=\frac {3 - 1}{2 - 1}=2$，$k_{AD}=\frac {2 - (-1)}{4 - 5}=-3$，所以$k_{CD}=k_{AB}$，$k_{BC}≠k_{AD}$，即$AB// CD$且BC与AD不平行，所以四边形ABCD是梯形，又因为$k_{BC}\cdot k_{CD}=k_{BC}\cdot k_{AB}=-1$，所以$BC⊥CD$，$BC⊥AB$，综上，四边形ABCD是直角梯形.母题探究解:由本例解析知，$k_{CD}=-\frac {1}{2}$，$k_{AD}=-3$，$k_{AB}=\frac {y - (-1)}{x - 5}=\frac {y + 1}{x - 5}$，$k_{BC}=\frac {y - 3}{x - 2}$，因为四边形ABCD是平行四边形，所以$k_{CD}=k_{AB}$，$k_{BC}=k_{AD}$，所以$\frac {y + 1}{x - 5}=-\frac {1}{2}$，$\frac {y - 3}{x - 2}=-3$，联立解得$x = 3$，$y = 0$.