《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 双曲线的定义
思考 同学们还记得椭圆的定义吗？把椭圆定义中的“距离之和”改为“距离之差的绝对值等于常数(小于$|F_{1}F_{2}|$)”,那么点的轨迹会怎么样？
无

答案： （此题为思考题，通常无选择题选项，若为选择题需根据具体选项判断，此处按要求填）无（或根据具体选项填如“双曲线定义”对应的选项符号，若必须给出符号示例则暂用）X（实际应根据题目选项填写）

1. 定义：一般地,我们把平面内与两个定点$F_{1}$,$F_{2}$的距离的差的①绝对值等于非零常数(②小于$|F_{1}F_{2}|$)的点的轨迹叫做双曲线.
2. 符号表示：$||MF_{1}|-|MF_{2}|| = 2a$($a$为常数,$0 ＜ 2a ＜ |F_{1}F_{2}|$).
3. 焦点：两个定点③$F₁,F₂$.
4. 焦距：④两焦点间的距离,表示为$|F_{1}F_{2}|$.

答案： ①绝对值　②小于　③F₁,F₂　④两焦点间

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)平面内与两个定点的距离的差等于常数的点的轨迹就是双曲线. (×)
(2)平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线. (×)
(3)平面内两个定点$F_{1}(0,4)$,$F_{2}(0,-4)$,满足条件$||PF_{1}|-|PF_{2}|| = 6的动点P$的轨迹是双曲线. (√)
(4)平面内两个定点$F_{1}(0,4)$,$F_{2}(0,-4)$,满足条件$||PF_{1}|-|PF_{2}|| = 8的动点P$的轨迹是双曲线. (×)

答案：
(1)×　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 相距$4k\ m的A$,$B$两地,听到炮弹爆炸的时间相差$2\ s$. 若声速为每秒$k\ m$,则炮弹爆炸点$P$的轨迹可能是(B)
A.圆
B.双曲线
C.椭圆
D.直线

答案： B

3. 已知$F_{1}(-3,0)$,$F_{2}(3,0)$,满足条件$|PF_{1}|-|PF_{2}| = 2m - 1的动点P$的轨迹是双曲线的一支,则$m$的取值范围是- $\frac{5}{2}$ ＜ m ＜ $\frac{7}{2}$且m ≠ $\frac{1}{2}$.

答案： - $\frac{5}{2}$ ＜ m ＜ $\frac{7}{2}$且m ≠ $\frac{1}{2}$