《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1. (教材 $P_{64} T_2$ 改编)在 $x$ 轴与 $y$ 轴上截距均为 $2$ 的直线的倾斜角为(B)
A.$150^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$90^{\circ}$
D.$45^{\circ}$

答案： 解析:选 B.由题意可得直线方程为$\frac {x}{2}+\frac {y}{2}=1$,化简可得$y=-x+2$,所以$k=-1$,即倾斜角为$135^{\circ }.$

2. (多选)下列说法中错误的是(ABC)
A.直线方程的截距式可表示除过原点外的所有直线
B.$\frac{x}{2}-\frac{y}{3}= 1$ 与 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= -1$ 是直线的截距式方程
C.直线方程的斜截式都可以化为截距式
D.在 $x$ 轴、$y$ 轴上的截距分别是 $2$,$3$ 的直线方程为 $\frac{x}{2}+\frac{y}{3}= 1$

答案： 解析:选 ABC.对于 A,直线方程的截距式为$\frac {x}{a}+\frac {y}{b}=1$,其中$ab≠0,$故不能表示过原点的直线,也不能表示与坐标轴平行的直线,A 错误;对于 B,$\frac {x}{2}-\frac {y}{3}=1,\frac {x}{2}+\frac {y}{3}=-1$都不是直线的截距式方程,B 错误;对于 C,直线方程的斜截式为$y=kx$的情况下,不能化为截距式方程,C 错误;对于 D,在 x 轴、y 轴上的截距分别是 2,3 的直线方程为$\frac {x}{2}+\frac {y}{3}=1$,D 正确.

3. 经过两点 $M(4,3)$,$N(1,5)$ 的直线交 $x$ 轴于点 $P$,则点 $P$ 的坐标是$(\frac {17}{2},0)$.

答案： 解析:由直线的两点式方程,得 MN 所在直线的方程为$\frac {y-3}{5-3}=\frac {x-4}{1-4}$,即$2x+3y-17=0$.令$y=0$,得$x=\frac {17}{2}$,故点 P 的坐标为$(\frac {17}{2},0).$答案:$(\frac {17}{2},0)$

4. 已知直线 $l$ 经过点 $(1,6)$ 和点 $(8,-8)$.
(1)求直线 $l$ 的两点式方程,并化为截距式方程；
(2)求直线 $l$ 与两坐标轴围成的图形面积.
解:
(1)由已知得直线 l 的两点式方程为$\frac {y-6}{-8-6}=\frac {x-1}{8-1}$,整理得$2x+y=8$.所以直线 l 的截距式方程为$\frac {x}{4}+\frac {y}{8}=1.$
(2)由(1)知直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4 和 8,所以直线 l 与两坐标轴围成的图形的面积为$\frac {1}{2}×4×8=16.$

答案： 解:
(1)由已知得直线 l 的两点式方程为$\frac {y-6}{-8-6}=\frac {x-1}{8-1}$,整理得$2x+y=8$.所以直线 l 的截距式方程为$\frac {x}{4}+\frac {y}{8}=1.$
(2)由
(1)知直线 l 在 x 轴、y 轴上的截距分别为 4 和 8,所以直线 l 与两坐标轴围成的图形的面积为$\frac {1}{2}×4×8=16.$

思考1 平面直角坐标系中的任意一条直线都可以用一个关于$x$,$y$的二元一次方程表示吗？
提示:可以.当直线斜率存在时，点斜式方程$y - y_{0} = k(x - x_{0})$可视为二元一次方程;当斜率不存在时，$x - x_{0} = 0$也可以认为是y的系数为0的二元一次方程。

答案： 提示:可以.当直线斜率存在时，点斜式方程$y - y_{0} = k(x - x_{0})$可视为二元一次方程;当斜率不存在时，$x - x_{0} = 0$也可以认为是y的系数为0的二元一次方程。

思考2 任意一个关于$x$,$y$的二元一次方程都可以表示一条直线吗？
提示:可以.任意一个二元一次方程$Ax + By + C = 0$（A，B不同时为0），当$B≠0$时，$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$;当$B = 0$时，$x = -\frac{C}{A}$均表示直线。

答案： 提示:可以.任意一个二元一次方程$Ax + By + C = 0$（A，B不同时为0），当$B≠0$时，$y = -\frac{A}{B}x - \frac{C}{B}$;当$B = 0$时，$x = -\frac{C}{A}$均表示直线。