《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

4. (教材 $ P_{43} T_{11} $ 改编)如图,在直四棱柱 $ ADD_1A_1 - BCC_1B_1 $ 中,底面 $ ADD_1A_1 $ 为直角梯形,$ AD // A_1D_1 $,$ E $,$ F $,$ G $ 分别为 $ AD $,$ A_1E $,$ C_1D_1 $ 的中点,$ AD = 2AB = 2AA_1 = 2A_1D_1 = 2 $,用向量法证明：直线 $ FG \perp $ 平面 $ A_1BE $。

证明:由题意知，$AB$，$AD$，$AA_{1}$两两垂直，以$A$为原点，$AB$，$AD$，$AA_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$A_{1}(0,0,1)$，$B(1,0,0)$，$E(0,1,0)$，$F(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$G(\frac{1}{2},1,1)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{FG}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.设平面$A_{1}BE$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{BE}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{A_{1}B}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x + y = 0\\x - z = 0\end{cases}$，令$x = 1$，则$y = 1$，$z = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，因为$\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}\boldsymbol{n}$，所以$\overrightarrow{FG}//\boldsymbol{n}$，故直线$FG\perp$平面$A_{1}BE$.

答案： 证明:由题意知，$AB$，$AD$，$AA_{1}$两两垂直，以$A$为原点，$AB$，$AD$，$AA_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$A_{1}(0,0,1)$，$B(1,0,0)$，$E(0,1,0)$，$F(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，$G(\frac{1}{2},1,1)$，$\overrightarrow{BE}=(-1,1,0)$，$\overrightarrow{A_{1}B}=(1,0,-1)$，$\overrightarrow{FG}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.设平面$A_{1}BE$的法向量为$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{BE}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{A_{1}B}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}-x + y = 0\\x - z = 0\end{cases}$，令$x = 1$，则$y = 1$，$z = 1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,1)$，因为$\overrightarrow{FG}=\frac{1}{2}\boldsymbol{n}$，所以$\overrightarrow{FG}//\boldsymbol{n}$，故直线$FG\perp$平面$A_{1}BE$.

思考1 点到直线的距离是如何定义的？
思考2 如图,过点P作PQ⊥直线l,垂足为Q,直线l上的点A异于点Q,则$PQ = \sqrt{PA^{2} - AQ^{2}}$与直线上点A的位置有关吗？

答案： 1. 思考1：
点到直线的距离的定义：
从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。
2. 思考2：
解：
根据勾股定理，在$Rt\triangle PAQ$中，$\angle PQA = 90^{\circ}$，由勾股定理$PA^{2}=PQ^{2}+AQ^{2}$，移项可得$PQ=\sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$。
因为$PQ$是点$P$到直线$l$的距离（$PQ\perp l$），根据点到直线距离的定义，点$P$到直线$l$的距离是一个定值，与直线$l$上除$Q$点外的点$A$的位置无关。
所以$PQ = \sqrt{PA^{2}-AQ^{2}}$与直线上点$A$的位置无关。