《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

2. 如图,$F_{1}$,$F_{2}$是平面上的两点,且$\vert F_{1}F_{2}\vert = 10$,图中的一系列圆是圆心分别为$F_{1}$,$F_{2}$的两组同心圆,每组同心圆的半径分别是$1$,$2$,$3$,…；$A$,$B$,$C$,$D$,$E$是图中两组同心圆的部分公共点。若点$A在以F_{1}$,$F_{2}为焦点的椭圆M$上,则(C)

A.点$B和C都在椭圆M$上
B.点$C和D都在椭圆M$上
C.点$D和E都在椭圆M$上
D.点$E和B都在椭圆M$上

答案： 解析:选C.由同心圆及点A在以F₁,F₂为焦点的椭圆M上得|AF₁|+|AF₂|=3+9=12,因为|BF₁|+|BF₂|=5+9=14≠12,|CF₁|+|CF₂|=5+6=11≠12,|DF₁|+|DF₂|=5+7=12,|EF₁|+|EF₂|=11+1=12.故点D和E都在椭圆M上.

3. 方程$\sqrt{(x - 1)^2 + y^2} + \sqrt{(x + 1)^2 + y^2} = 2$表示的轨迹为(C)
A.圆
B.椭圆
C.线段
D.不表示任何图形

答案： 解析:选C.因为√((x-1)²+y²)+√((x+1)²+y²)=2,所以方程可表示平面内点P(x,y)到点A(1,0)与点B(-1,0)的距离之和为2的图形,此时|PA|+|PB|=|AB|,所以方程√((x-1)²+y²)+√((x+1)²+y²)=2表示的轨迹是线段AB.

思考1 在研究圆的方程时,不同的坐标系得到的圆的方程相同吗？
坐标系不同,得到的圆的方程不相同.

答案： 提示:坐标系不同,得到的圆的方程不相同.

思考2 类比圆的方程,结合椭圆的形成过程,怎样建立坐标系才能使椭圆的方程更简单些？
结合图形的对称性,以F₁F₂所在的直线以及线段F₁F₂的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系,所得的方程更简单.

答案： 提示:结合图形的对称性,以F₁F₂所在的直线以及线段F₁F₂的垂直平分线作为坐标轴建立坐标系,所得的方程更简单.

答案： $①\frac{x²}{a²}+\frac{y²}{b²}=1(a＞b＞0) ②\frac{y²}{a²}+\frac{x²}{b²}=1(a＞b＞0) ③(-c,0),(c,0) ④(0,-c),(0,c) ⑤a²-b²$

[例1](对接教材例1)求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1) 两个焦点的坐标分别是$(0,-2)$,$(0,2)$,并且椭圆经过点$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$；
(2) $c:a = 5:13$,且椭圆上任意一点到两焦点的距离的和为$26$。
(1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上,且c=2. 方法一:由椭圆的定义知,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a,所以$2a=√((-\frac{3}{2})²+(\frac{5}{2}+2)²)+√((-\frac{3}{2})²+(\frac{5}{2}-2)²)=2√10,$所以a=√10,所以b²=a²-c²=10-4=6,故椭圆的标准方程为$\frac{y²}{10}+\frac{x²}{6}=1. $方法二:可设椭圆方程为$\frac{y²}{b²+4}+\frac{x²}{b²}=1,$将$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$代入此方程为$\frac{(\frac{5}{2})²}{b²+4}+\frac{(-\frac{3}{2})²}{b²}=1,$解得b²=6(负值已舍去),故椭圆的标准方程为$\frac{y²}{10}+\frac{x²}{6}=1. (2)$由题意知,2a=26,即a=13,又c:a=5:13,所以c=5,所以b²=a²-c²=13²-5²=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为$\frac{x²}{169}+\frac{y²}{144}=1$或$\frac{y²}{169}+\frac{x²}{144}=1.$

答案：
(1)由题意知,椭圆的焦点在y轴上,且c=2. 方法一:由椭圆的定义知,椭圆上任意一点到两焦点的距离之和等于2a,所以$2a=√((-\frac{3}{2})²+(\frac{5}{2}+2)²)+√((-\frac{3}{2})²+(\frac{5}{2}-2)²)=2√10,$所以a=√10,所以b²=a²-c²=10-4=6,故椭圆的标准方程为$\frac{y²}{10}+\frac{x²}{6}=1. $方法二:可设椭圆方程为$\frac{y²}{b²+4}+\frac{x²}{b²}=1,$将$(-\frac{3}{2},\frac{5}{2})$代入此方程为$\frac{(\frac{5}{2})²}{b²+4}+\frac{(-\frac{3}{2})²}{b²}=1,$解得b²=6(负值已舍去),故椭圆的标准方程为$\frac{y²}{10}+\frac{x²}{6}=1. (2)$由题意知,2a=26,即a=13,又c:a=5:13,所以c=5,所以b²=a²-c²=13²-5²=144,因为焦点所在的坐标轴不确定,所以椭圆的标准方程为$\frac{x²}{169}+\frac{y²}{144}=1$或$\frac{y²}{169}+\frac{x²}{144}=1.$