《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 共线向量
思考 两个平面向量a,b(b≠0)共线的充要条件是什么？它适用于空间向量吗？
对任意两个平面向量a,b (b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.

答案： 对任意两个平面向量a,b (b≠0),a//b的充要条件是存在实数λ，使a=λb，由于空间向量共线的定义与平面向量相同，因此也适用于空间向量.

1.向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a//b的充要条件是存在实数入,使日a=λb.

答案： a=λb

2.空间直线的确定
(1)直线的方向向量的定义
在直线l上取②非零向量a,把与向量a 平行的非零向量称为直线1的方向向量.
(2)空间直线的确定
空间直线可以由直线上一点和它的④方向向量确定.

答案：
(1)非零 平行
(2)方向向量

[例1]在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,CD的中点,请判断EF与AD+BC是否共线.
连接AC,取AC的中点G，连接EG,FG,因为E,F分别为AB，CD的中点,所以$\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.又因为E,F,G三点共面，所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$，即$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$共线.

答案： 连接AC,取AC的中点G，连接EG,FG,因为E,F分别为AB，CD的中点,所以$\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{EG}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.又因为E,F,G三点共面，所以$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EG}+\overrightarrow{GF}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{AD})$，即$\overrightarrow{EF}$与$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}$共线.

[跟踪训练1]如图,四边形ABCD,ABEF都是平行四边形且不共面,点M,N分别是AC,BF的中点,判断CE与MN是否共线？
方法一:由题意得，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.又$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN})=2\overrightarrow{MN}$，所以$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.
方法二:连接AE(图略)，由题知N为AE的中点，所以$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=2\overrightarrow{MN}$，所以$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.

答案： 方法一:由题意得，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN}=\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$.又$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{CE}+\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{BN}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}+\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CE}-\overrightarrow{AF}-\frac{1}{2}\overrightarrow{FB}$，所以$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FB}=2(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{FN})=2\overrightarrow{MN}$，所以$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.
方法二:连接AE(图略)，由题知N为AE的中点，所以$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AN}-2\overrightarrow{AM}=2(\overrightarrow{AN}-\overrightarrow{AM})=2\overrightarrow{MN}$，所以$\overrightarrow{CE}$与$\overrightarrow{MN}$共线.