《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

三 平面与平面平行
思考 如图,平面 $ \alpha,\beta $ 平行,$ \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2 $ 分别是平面 $ \alpha,\beta $ 的法向量,$ \boldsymbol{n}_1 $ 与 $ \boldsymbol{n}_2 $ 具有什么关系？

平行.

答案： 平行.

设 $ \boldsymbol{n}_1,\boldsymbol{n}_2 $ 分别是平面 $ \alpha,\beta $ 的法向量,则 $ \alpha // \beta \Leftrightarrow $ ①$n_{1}// n_{2}$ $ \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $,使得 ②$n_{1}=λn_{2}$。

答案： ①$n_{1}// n_{2}$ ②$n_{1}=λn_{2}$

例 3

如图,在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,$ M,N,P $ 分别是 $ AD_1,BD,B_1C $ 的中点。证明：平面 $ MNP // $ 平面 $ CC_1D_1D $。

答案：
[证明]　以D为坐标原点，DA，$\overrightarrow{DC}$，$\overrightarrow{DD_{1}}$的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系。设正方体的棱长为2，则$D(0,0,0)$，$A(2,0,0)$，$M(1,0,1)$，$N(1,1,0)$，$P(1,2,1)$。
易知$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$为平面$CC_{1}D_{1}D$的一个法向量，
　　　
由于$\overrightarrow{MP}=(0,2,0)$，$\overrightarrow{MN}=(0,1,-1)$，且$\begin{cases}\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{DA}=0\\\overrightarrow{MN}\cdot\overrightarrow{DA}=0\end{cases}$，即$\overrightarrow{DA}=(2,0,0)$也是平面MNP的一个法向量，所以平面$MNP//$平面$CC_{1}D_{1}D$。

如图,在直四棱柱 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,底面 $ ABCD $ 为等腰梯形,$ AB // CD $,$ AB = 4 $,$ BC = CD = 2 $,$ AA_1 = 2 $,$ F $ 是棱 $ AB $ 的中点。求证：平面 $ AA_1D_1D // $ 平面 $ FCC_1 $。

答案：
证明:由题意得，$BF = BC = CF$，所以$\triangle BCF$为正三角形。
所以$\angle BAD = \angle ABC = 60^{\circ}$。
如图，取AF的中点M，连接DM，
　　　　
则$DM⊥AB$，所以$DM⊥CD$。
以D为原点，DM，DC，$DD_{1}$所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则$D(0,0,0)$，$D_{1}(0,0,2)$，$A(\sqrt{3},-1,0)$，$F(\sqrt{3},1,0)$，$C(0,2,0)$，$C_{1}(0,2,2)$。
所以$\overrightarrow{DD_{1}}=(0,0,2)$，$\overrightarrow{DA}=(\sqrt{3},-1,0)$，$\overrightarrow{CF}=(\sqrt{3},-1,0)$，$\overrightarrow{CC_{1}}=(0,0,2)$。
所以$\overrightarrow{DD_{1}}//\overrightarrow{CC_{1}}$，$\overrightarrow{DA}//\overrightarrow{CF}$，则$DD_{1}// CC_{1}$，$DA// CF$，又$DD_{1}\cap DA = D$，$CC_{1}\cap CF = C$，$DD_{1}$，$DA\subset$平面$AA_{1}D_{1}D$，$CC_{1}$，$CF\subset$平面$FCC_{1}$，所以平面$AA_{1}D_{1}D//$平面$FCC_{1}$。

答案： 在梯形$BDEF$中，$EF// BD$。
因为$EF\subset$平面$AEC$，$BD\not\subset$平面$AEC$，
若$BD//$平面$AEC$，且$BD\subset$平面$BDEF$，平面$AEC\cap$平面$BDEF = l$，
根据直线与平面平行性质定理得$BD// l$，
又因为$EF// BD$，所以$EF// l$。
因为$EF\subset$平面$AEC$，$l\subset$平面$AEC$，这与过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，
所以假设不成立，即$BD$与平面$AEC$不平行。