《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(1) 已知 $ \triangle A B C $ 的周长为 $ 20 $,且顶点 $ B(0,-4) $,$ C(0,4) $,则顶点 $ A $ 的轨迹方程是$ \quad $(B)
A.$ \frac{x^{2}}{36}+\frac{y^{2}}{20}= 1(x \neq 0) $
B.$ \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}= 1(x \neq 0) $
C.$ \frac{x^{2}}{6}+\frac{y^{2}}{20}= 1(x \neq 0) $
D.$ \frac{x^{2}}{20}+\frac{y^{2}}{36}= 1 $

答案：
(1)解析:选B.因为△ABC的周长为20,顶点B(0,-4),C(0,4),所以|BC|=8,|AB|+|AC|=20-8=12,因为12＞8,所以点A到两个定点的距离之和等于定值且大于两定点间的距离,又A,B,C三点构成△ABC,所以点A的轨迹是椭圆的一部分,且焦点在y轴上,因为a=6,c=4,所以b²=20,所以顶点A的轨迹方程是x²/20+y²/36=1(x≠0).

(2) 已知曲线 $ x^{2}+y^{2}= 16 $,从曲线上任意一点 $ P $ 向 $ y $ 轴作垂线,垂足为 $ P^{\prime} $,且 $ \overrightarrow{P N}= \frac{1}{4} \overrightarrow{P P^{\prime}} $,则点 $ N $ 的轨迹方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$。

答案：
(2)解析:因为$\overrightarrow{PN}$=1/4$\overrightarrow{PP'}$,所以P,N,P'三点共线,且|$\overrightarrow{P'N}$|=3/4|$\overrightarrow{PP'}$|,由题意设N(x,y),则P(4/3x,y),因为点P在x²+y²=16上,所以(4/3x)²+y²=16,整理得x²/9+y²/16=1,则点N的轨迹方程为x²/9+y²/16=1.
答案:x²/9+y²/16=1

1. 已知椭圆 $ \frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}= 1 $ 的左、右焦点分别为 $ F_{1} $,$ F_{2} $,点 $ P $ 是椭圆上一点(与点 $ F_{1} $,$ F_{2} $ 不共线),则 $ \triangle P F_{1} F_{2} $ 的周长为$ \quad $(C)
A.$ 20 $
B.$ 18 $
C.$ 16 $
D.$ 14 $

答案： 1.解析:选C.因为椭圆方程x²/25+y²/16=1,所以a²=25,b²=16,c²=a²-b²=25-16=9,所以a=5,c=3,所以C△PF₁F₂=|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=16.

2.(多选)已知点 $ P $ 在椭圆上,且 $ P $ 到椭圆的两个焦点的距离分别为 $ 5 $,$ 3 $。过 $ P $ 且与两焦点的连线垂直的直线恰好经过椭圆的一个焦点,则椭圆的标准方程为$\quad $(AD)
A.$ \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{12}= 1 $
B.$ \frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}= 1 $
C.$ \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}= 1 $
D.$ \frac{x^{2}}{12}+\frac{y^{2}}{16}= 1 $

答案： 2.解析:选AD.依题意,设椭圆的两个焦点分别为F₁,F₂,不妨令|PF₁|=5,|PF₂|=3,且△PF₁F₂为直角三角形,所以|F₁F₂|²=|PF₁|²-|PF₂|²=5²-3²=16,所以|F₁F₂|=4,所以c=2,又2a=|PF₁|+|PF₂|=8,所以a=4,所以b²=a²-c²=12,又椭圆的焦点位置不确定,故所求的椭圆的标准方程为x²/16+y²/12=1或x²/12+y²/16=1.

3.(教材 $ P_{115} T_{5} $ 改编)已知 $ P $ 是椭圆 $ \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{4}= 1 $ 上的一点,且以点 $ P $ 及焦点 $ F_{1} $,$ F_{2} $ 为顶点的三角形的面积等于 $ 1 $,则 $ |O P|= $______$\frac{\sqrt{19}}{2}$。

答案： 3.解析:由椭圆x²/5+y²/4=1,得a=√5,b=2,c=√(a²-b²)=1,设F₁(-1,0),F₂(1,0),|F₁F₂|=2,设P(x,y),因为△PF₁F₂的面积为1,则1/2×|y|×2=1,解得y=±1,不妨设P在第一象限,当y=1时,x²/5+1/4=1,解得x=√15/2,|OP|=√(15/4+1)=√19/2.
答案:√19/2

4.(教材 $ P_{115} T_{8} $ 改编)如图,长为 $ a $($ a $ 是正常数)的线段 $ A B $ 的两个端点 $ A $,$ B $ 分别在互相垂直的两条直线上滑动,点 $ M $ 是线段 $ A B $ 上靠近 $ A $ 的三等分点,求点 $ M $ 的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形。

解:设两直线的交点为O,以OA为x轴,OB为y轴建立平面直角坐标系,设M(x,y),由于点M是线段AB上靠近A的三等分点,设A(m,0),B(0,n),则$\overrightarrow{AM}$=1/3$\overrightarrow{AB}$,即(x-m,y)=1/3(-m,n),故m=3/2x,n=3y,由|AB|=a＞0,故m²+n²=a²,即9x²/4+9y²=a²,整理得到9x²/(4a²)+9y²/a²=1,所以点M的轨迹方程为9x²/(4a²)+9y²/a²=1,该方程表示焦点在x轴上的椭圆.

答案： 4.解:设两直线的交点为O,以OA为x轴,OB为y轴建立平面直角坐标系,设M(x,y),由于点M是线段AB上靠近A的三等分点,设A(m,0),B(0,n),则$\overrightarrow{AM}$=1/3$\overrightarrow{AB}$,即(x-m,y)=1/3(-m,n),故m=3/2x,n=3y,由|AB|=a＞0,故m²+n²=a²,即9x²/4+9y²=a²,整理得到9x²/(4a²)+9y²/a²=1,所以点M的轨迹方程为9x²/(4a²)+9y²/a²=1,该方程表示焦点在x轴上的椭圆.