《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 椭圆的简单几何性质
思考1 根据方程$\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0)$画出椭圆,你能确定椭圆的边界吗？
思考2 根据上面所画的图形,椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？
思考3 根据上面所画的图形,椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？

答案：
思考1提示:由方程$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1(a ＞b＞0)$得$\frac {y^{2}}{b^{2}}=1-\frac {x^{2}}{a^{2}}≥0$,得$-a≤x≤a$,同理可得$-b≤y ≤b$,故椭圆位于$x=\pm a$和$y=\pm b$围成的矩形内.
　　　　　　　　
思考2提示:既关于坐标轴对称，又关于原点中心对称.若$(x,y)$满足方程，则易知$(x,-y),(-x,y),(-x,-y)$也满足方程.
思考3提示:令$x=0$,则$y=\pm b$;令$y=0$,则$x=\pm a$.故$(\pm a,0),(0,\pm b)$为特殊点.

答案： ①$-a≤x≤a$且$-b≤y≤b$
②$-b≤x≤b$且$-a≤y≤a$
③$A_{1}(-a,0),A_{2}(a,0),B_{1}(0,-b),B_{2}(0,b)$
④$A_{1}(0,-a),A_{2}(0,a),B_{1}(-b,0),B_{2}(b,0)$
⑤$2b$
⑥$2a$
⑦$F_{1}(-c,0),F_{2}(c,0)$
⑧$F_{1}(0,-c),F_{2}(0,c)$
⑨$2c$
⑩$x$轴和$y$轴
⑪原点
⑫$\frac {c}{a}$