《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1. “$1 ＜ b ＜ 2$”是“点 $B(0,b)$ 在圆 $C:(x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 2$ 内”的(A)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 选 A. 点 B(0,b)在圆 C:(x - 1)²+(y - 2)²=2 内⇔(0 - 1)²+(b - 2)²＜2⇔1＜b＜3，所以“1＜b＜2”是“点 B(0,b)在圆 C:(x - 1)²+(y - 2)²=2 内”的充分不必要条件.

2. (多选)关于方程 $x^2 + y^2 + 2ax - 2ay = 0$ 表示的圆,下列叙述中正确的是(AC)
A.圆心在直线 $y = -x$ 上
B.其圆心在 $x$ 轴上
C.过原点
D.半径为 $\sqrt{2}a$

答案： 选 AC. 若方程 x²+y²+2ax - 2ay=0 表示圆，则其标准方程为(x + a)²+(y - a)²=2a²，所以 2a²＞0，可得 a≠0，圆心为 C(-a,a)，半径为 r = √2|a|，对于 A，圆心 C(-a,a)在直线 y = -x 上，A 正确；对于 B，因为 a≠0，所以圆心不可能在 x 轴上，B 错误；对于 C，因为(0 + a)²+(0 - a)²=2a²，则该圆过原点，C 正确；对于 D，该圆的半径为 r = √2|a|，D 错误.

3. (2025·潍坊期中)已知圆心在直线 $2x - 7y + 8 = 0$ 上,且 $A(6,0),B(1,5)$ 都是圆上的点,则圆的标准方程为(x - 3)²+(y - 2)²=13.

答案： 解析：方法一：依题意，线段 AB 的中点(7/2,5/2)，直线 AB 的斜率(5 - 0)/(1 - 6)= -1，则线段 AB 中垂线的方程为 y - 5/2=1×(x - 7/2)，即 x - y - 1=0，由{x - y - 1=0,2x - 7y + 8=0}解得{x = 3,y = 2}，因此所求圆的圆心为(3,2)，半径 r = √(3²+(-2)²)=√13，所以所求圆的标准方程为(x - 3)²+(y - 2)²=13.
方法二：设圆的一般方程为 x²+y²+Dx + Ey+F = 0(D²+E² - 4F＞0)，圆心坐标为(-D/2,-E/2)，由题意得{6²+6D+F = 0,-2×(-D/2)+7×(-E/2)+8 = 0,1²+5²+D+5E+F = 0}，解得{D = -6,E = -4,F = 0}，即圆的一般方程为 x²+y² - 6x - 4y = 0，即标准方程为(x - 3)²+(y - 2)²=13.
答案：(x - 3)²+(y - 2)²=13

1. 直线 $kx - y - 2k + 2 = 0(k \in \mathbf{R})$ 与圆 $x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0$ 的位置关系是(C)
A.相离
B.相切
C.相交
D.都有可能

答案： 解析：选 C. 将圆的方程化为标准方程(x - 3)²+(y - 4)²=25，所以圆心坐标为(3,4)，圆的半径为 5，直线 kx - y - 2k + 2=0 恒过定点(2,2)，(2 - 3)²+(2 - 4)²=5＜25，点(2,2)在圆内，所以直线与圆相交.

2. 直线 $l:x - y + 1 = 0$ 与圆 $C:x^2 + y^2 - 2x - 3 = 0$ 交于 $A,B$ 两点,则 $\triangle ACB$ 的面积为(B)
A.$\sqrt{3}$
B.$2$
C.$2\sqrt{2}$
D.$\frac{\sqrt{3}}{2}$

答案： 解析：选 B. 如图，由圆 C:x²+y² - 2x - 3=0 化为标准方程为(x - 1)²+y²=4，知圆心为 C(1,0)，半径为 2，过点 C(1,0)作 CD⊥AB 于点 D，由 C(1,0)到直线 l:x - y + 1=0 的距离为|CD|=2/√2=√2，则|AB|=2|AD|=2×√(2²-(√2)²)=2√2，故△ACB 的面积为 1/2|AB|·|CD|=1/2×2√2×√2=2.

3. 已知圆 $C:(x + 2)^2 + (y - 4)^2 = 1$,则圆心 $C$ 到直线 $l:kx + y - k + 3 = 0$ 的最大距离为√58.

答案： 解析：因为直线 l:kx + y - k + 3=0，即 k(x - 1)+y + 3=0，令{x - 1=0,y + 3=0}，解得{x = 1,y = -3}，所以直线经过定点(1,-3)，当圆心(-2,4)与定点(1,-3)的连线与直线垂直时，距离最大，最大值为√(3²+7²)=√58.
答案：√58

4. 已知 $A$ 为直线 $l:x + y + 2a = 0$ 上的一个动点,$P,Q$ 为圆 $(x - a)^2 + (y - a)^2 = 2a^2$ 上的两个动点,则 $\angle PAQ$ 的最大值是60°.

答案： 解析：(x - a)²+(y - a)²=2a² 的圆心为 B(a,a)，半径为√2|a|，圆心 B(a,a)到直线 l:x + y + 2a=0 的距离 d = |a + a + 2a|/√(1 + 1)=2√2|a|，若要∠PAQ 最大，则∠BAQ+∠BAP 最大，显然当 AP，AQ 为圆的切线时，∠BAQ+∠BAP 最大，此时∠BAQ = ∠BAP，由于 sin∠BAP = |BP|/|AB|=√2|a|/|AB|，故当|AB|最小时，∠BAP 取得最大值，则∠PAQ 最大，当 AB⊥l 时，|AB|最小，最小值为 d = 2√2|a|，故 sin∠BAP = √2|a|/(2√2|a|)=1/2，所以∠BAQ = ∠BAP = 30°，故∠PAQ 的最大值为 60°.
答案：60°

1. 已知圆 $O_1:(x - 1)^2 + y^2 = 4$ 与圆 $O_2:x^2 + y^2 - 4x + 2y + 3 = 0$ 交于 $A,B$ 两点,则 $|AB| = $(2√2)
A.$\sqrt{2}$
B.$2\sqrt{2}$
C.$3\sqrt{2}$
D.$4\sqrt{2}$

答案： 解析：选 B. 两圆方程作差可得直线 AB 的方程为 2x - 2y - 6=0，即 x - y - 3=0；由圆 O₁ 方程可得其圆心 O₁(1,0)，半径 r = 2，所以 O₁ 到直线 AB 的距离 d = |1 - 0 - 3|/√2=√2，所以|AB|=2√(r² - d²)=2√2.

2. 若直线 $x + my + 1 = 0$ 是 $\odot C_1:(x - 1)^2 + (y + 2)^2 = r^2(r ＞ 0)$ 与 $\odot C_2:(x - 2)^2 + (y - 2)^2 = 4$ 的公切线,则实数 $r$ 的值为(34/13)
A.$\frac{34}{13}$
B.$\frac{17}{12}$
C.$\frac{12}{7}$
D.$\frac{9}{2}$

答案： 解析：选 A. 已知⊙C₁ 的圆心 C₁(1,-2)，半径是 r；⊙C₂ 的圆心是 C₂(2,2)，半径是 2. 由题知直线 x + my + 1=0 是⊙C₁ 和⊙C₂ 的公切线，当 m = 0 时，直线为 x = -1，此时直线 x = -1 与圆 C₂ 不相切，所以 m≠0，由 2 = |2 + 2m + 1|/√(1 + m²)，解得 m = -5/12，则有 r = |1 - 2×(-5/12)+1|/√(1+(-5/12)²)=34/13.