《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

思考 1 在平面内,过点 $ P_0(x_0,y_0) $ 的直线有多少条？无数条

答案： 提示:无数条.

思考 2 在平面内,斜率为 $ k $ 的直线有多少条？
无数条

答案： 提示:无数条.

思考 3 在平面内,过点 $ P_0(x_0,y_0) $ 且斜率为 $ k $ 的直线有多少条？
有且只有一条.

答案： 提示:有且只有一条.

答案： ①斜率 k ②$k(x-x_{0})$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 经过点 $ P(1,1) $ 的直线都可以用 $ y - 1 = k(x - 1) $ 表示。(×)
(2) $ y $ 轴所在直线的方程为 $ x = 0 $。(√)
(3) $ y $ 轴所在直线的方程为 $ y = 0 $。(×)
(4) 直线 $ y - 3 = k(x + 1) $ 恒过定点 $ (-1,3) $。(√)

答案：
(1)×
(2)√
(3)×
(4)√

2. 过点 $ (-1,1) $,且一个方向向量为 $ (3,2) $ 的直线的点斜式方程为($y-1=\frac {2}{3}(x+1)$)
A.$ y - 1 = \frac{3}{2}(x + 1) $
B.$ y - 1 = - \frac{2}{3}(x + 1) $
C.$ y - 1 = \frac{2}{3}(x + 1) $
D.$ y - 1 = - \frac{3}{2}(x + 1) $

答案： 解析:选 C.因为直线的一个方向向量为(3,2),所以直线的斜率$k=\frac {2}{3}$,所以直线的点斜式方程为$y-1=\frac {2}{3}(x+1).$

3. (2025·阜阳期中)将直线 $ y = x $ 绕点 $ (1,1) $ 顺时针旋转 $ 75^{\circ} $ 得到的直线的点斜式方程是 $y-1=-\frac {\sqrt {3}}{3}(x-1)$。

答案： 解析:因为直线$y=x$的斜率为1,所以其倾斜角为$45^{\circ }$.将其顺时针旋转$75^{\circ }$,所得直线的倾斜角为$45^{\circ }-75^{\circ }+180^{\circ }=150^{\circ }$,所以所求直线的斜率为$tan150^{\circ }=-\frac {\sqrt {3}}{3}$.所以所求直线的点斜式方程为$y-1=-\frac {\sqrt {3}}{3}(x-1).$ 答案:$y-1=-\frac {\sqrt {3}}{3}(x-1)$

4. (2025·上海市静安区期中)已知直线过点 $ A(-2,3) $,且倾斜角的正弦值为 $ \frac{5}{13} $,则此直线的点斜式方程为 $y-3=\pm \frac {5}{12}(x+2)$。

答案： 解析:记直线倾斜角为α,由题知$sinα=\frac {5}{13},α∈[0,π)$,所以$cosα=\pm \sqrt {1-(\frac {5}{13})^{2}}=\pm \frac {12}{13}$,所以$k=tanα=\frac {sinα}{cosα}=\pm \frac {5}{12}$,则直线的点斜式方程为$y-3=\pm \frac {5}{12}(x+2).$ 答案:$y-3=\pm \frac {5}{12}(x+2)$