《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例 2](对接教材例 4)用坐标法证明：菱形的对角线互相垂直。
证明:如图所示，四边形ABCD是菱形,以AB
为x轴，过A作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为A(0，0)，
B(b,0),D(a,c),C(a+b,c),连接AC,BD,则kₐc=c/(a+b),kᵦd=c/(a-b),
因为四边形ABCD是菱形，所以|AB|=|AD|,即a²+c²=b²,因为kₐc·kᵦd=c/(a+b)·c/(a-b)=c²/(a²-b²)=-1,
　所以AC⊥BD,菱形的对角线互相垂直.

答案： 证明:如图所示，四边形ABCD是菱形,以AB
为x轴，过A作AB的垂线为y轴，建立平面直角坐标系，设各点坐标分别为A(0，0)，
B(b,0),D(a,c),C(a+b,c),连接AC,BD,则kₐc=c/(a+b),kᵦd=c/(a-b),
因为四边形ABCD是菱形，所以|AB|=|AD|,即a²+c²=b²,因为kₐc·kᵦd=c/(a+b)·c/(a-b)=c²/(a²-b²)=-1,
　所以AC⊥BD,菱形的对角线互相垂直.

[跟踪训练 2] 如图所示,正方形 $ ABCD $ 中,在 $ BC $ 上任取一点 $ P $(点 $ P $ 不与 $ B,C $ 重合),过点 $ P $ 作 $ AP $ 的垂线 $ PQ $ 交 $ \angle C $ 的外角平分线于点 $ Q $。用坐标法证明：$ |AP| = |PQ| $。

证明:以B为原点，射线BC,BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图所示.
　设正方形边长为a，
　则A(0,a),C(a,0),
　设点P的坐标为(t,0)
　(0＜t＜a).
　kₐₚ=-a/t,则lₚq:y=-a/t(x-t),①
　lₑq:y=x-a.②
　联立①②可得Q(a+t,t).
　因为|AP|=√(t²+a²),|PQ|=√(a²+t²),所以|AP|=|PQ|.

答案： 证明:以B为原点，射线BC,BA分别为x轴、y轴的正半轴建立平面直角坐标系，如图所示.
　设正方形边长为a，
　则A(0,a),C(a,0),
　设点P的坐标为(t,0)
　(0＜t＜a).
　kₐₚ=-a/t,则lₚq:y=-a/t(x-t),①
　lₑq:y=x-a.②
　联立①②可得Q(a+t,t).
　因为|AP|=√(t²+a²),|PQ|=√(a²+t²),所以|AP|=|PQ|.

1.(教材 $ P_{72}T_1 $ 改编)直线 $ 3x + 2y - 18 = 0 $ 和 $ -2x + 5y - 7 = 0 $ 的交点坐标为((4,3))
A.$ (-4,-3) $
B.$ (4,3) $
C.$ (-4,3) $
D.$ (3,4) $

答案： 解析:选B.解方程组{3x+2y=18,-2x+5y=7},
　得{x=4,y=3},所以所求交点坐标为(4,3).

2.(2025·北京期中)过点 $ M(-2,a), N(a,4) $ 的直线的斜率为 $ \frac{1}{2} $,则 $ |MN| = $(2√5)
A.2
B.$ 2\sqrt{5} $
C.4
D.$ 4\sqrt{2} $

答案： 解析:选B.依题意，k=(a-4)/(-2-a)=1/2,解得a=2,所以M(-2,2),N(2,4),所以|MN|=√(4²+2²)=2√5

3.(多选)在等腰直角三角形 $ ABC $ 中,$ C = 90° $,若点 $ A,C $ 的坐标分别为 $ (0,4),(3,3) $,则点 $ B $ 的坐标可能是(BC)
A.$ (6,4) $
B.$ (2,0) $
C.$ (4,6) $
D.$ (0,2) $

答案： 解析:选BC.设B(x,y),由题意得
　{kₐc·kₐᵦ=-1,|BC|=|AC|},
　所以{(y-3)/(x-3)·(4-3)/(0-3)=-1,
　　　　√((x-3)²+(y-3)²)=√(9+1)
　解得{x=2,y=0}或{x=4,y=6},故点B的坐标为(2,0)或(4,6).

4.(教材 $ P_{74}T_1 $ 改编)已知点 $ A $ 的坐标为 $ (-8,12) $,线段 $ AB $ 中点的坐标为 $ (-\frac{1}{2},2) $,则 $ B $ 点的坐标为(7,-8),$ |AB| = $25。

答案： 解析:设B点的坐标为(x,y)，
　因为点A的坐标为(-8,12),线段AB 中点的坐标为(-1/2,2),
　所以{(-8+x)/2=-1/2,(12+y)/2=2},解得{x=7,y=-8},
　即B点的坐标为(7,-8),所以|AB|=√((7+8)²+(-8-12)²)=25.
　答案:(7,-8)　25

5. 经过两条直线 $ l_1:x + y = 2, l_2:2x - y = 1 $ 的交点,且直线的一个方向向量 $ \boldsymbol{v} = (3,2) $ 的直线方程为2x-3y+1=0。

答案： 解析:由{x+y=2,2x-y=1},解得{x=1,y=1},故交点坐标为(1，1),因为直线的一个方向向量v=(3,2),所以直线方程为y-1=2/3(x-1),即2x-3y+1=0.
答案:2x-3y+1=0