《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[跟踪训练2] (1) 过点 $ P(-1,3) $ 作圆 $ (x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2 $ 的切线,则切线的斜率为 (A)
A.$ -1 $ 或 $ -7 $
B.$ -1 $
C.$ -2 $ 或 $ -7 $
D.$ -2 $

答案： A

(2) 已知圆 $ C: (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 及圆 $ C $ 外一点 $ M(-4, -1) $,过点 $ M $ 作圆 $ C $ 的一条切线,切点为 $ N $,则 $ \triangle MNC $ 的面积为 6.

答案： 6

1. (教材 $ P_{93}T_2 $ 改编) 已知圆 $ 2x^2 + 2y^2 + 3x - 4y - \lambda = 0 $ 与 $ x $ 轴相切,则 $ \lambda = $ (C)
A.2
B.$ -\frac{1}{2} $
C.$ -\frac{9}{8} $
D.1

答案： C

2. (多选) 已知圆 $ (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 与直线 $ x + my - m - 2 = 0 $,下列选项正确的是 (AC)
A.直线与圆必相交
B.直线与圆不一定相交
C.直线与圆不可能相离
D.直线与圆可以相切

答案： AC

3. 若直线 $ 3x - 4y + a = 0 $ 与圆 $ (x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 4 $ 相交,则实数 $ a $ 的取值范围是 (-12,8).

答案： (-12,8)

4. (教材 $ P_{93}T_3 $ 改编) 已知点 $ (2, -3) $ 在圆 $ C: x^2 + y^2 - 8x + 6y + m = 0 $ 上.
(1) 求该圆的圆心坐标及半径长；
(2) 过点 $ M(1, -1) $,斜率为 $ -\frac{4}{3} $ 的直线 $ l $ 与圆 $ C $ 相交于 $ A $,$ B $ 两点,求弦 $ AB $ 的长.
(1)因为点(2,-3)在圆C:x²+y²-8x+6y+m=0上,所以4+9-16-18+m=0,解得m=21,所以该圆的标准方程为(x-4)²+(y+3)²=4,所以该圆的圆心坐标为(4，-3)，半径长为2.
(2)因为直线l过点M(1,-1),斜率为-4/3,所以直线l的方程为y+1=-4/3(x-1),即4x+3y-1=0,则圆心(4,-3)到直线l的距离d=|16-9-1|/√(16+9)=6/5,所以|AB|=2√(4-d²)=2×√(4-36/25)=16/5.

答案：
(1)因为点(2,-3)在圆C:x²+y²-8x+6y+m=0上,所以4+9-16-18+m=0,解得m=21,所以该圆的标准方程为(x-4)²+(y+3)²=4,所以该圆的圆心坐标为(4，-3)，半径长为2.
(2)因为直线l过点M(1,-1),斜率为-4/3,所以直线l的方程为y+1=-4/3(x-1),即4x+3y-1=0,则圆心(4,-3)到直线l的距离d=|16-9-1|/√(16+9)=6/5,所以|AB|=2√(4-d²)=2×√(4-36/25)=16/5.

[例1] (1)(2025·常州期中)已知点$A(-1,0)$,$B(0,1)$,点$P是圆(x - 2)^2 + y^2 = 2$上任意一点,则$\triangle PAB$面积的最小值为(C)
A.2
B.1
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3 - \sqrt{2}}{2}$

答案： C

(2)(2025·咸阳期中)由直线$x - y - 2 = 0上的一点P向圆C:(x + 3)^2 + y^2 = 1$引切线,切点为$Q$,则$\vert PQ\vert$的最小值为$\frac{\sqrt{46}}{2}$.

答案： $\frac{\sqrt{46}}{2}$