《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

例4 已知直线$l:mx - y - m + 4 = 0$。
(1) 求证直线$l$恒过定点,并求出该定点坐标；
(2) 为使直线$l$不经过第二象限,求$m$的取值范围。
母题探究 是否存在实数$m$,使得直线$l与x轴和y$轴的正半轴都相交？若存在,求出$m$的取值范围,并求出与两坐标轴围成的三角形面积的最小值；若不存在,请说明理由。
(1)方法一:由$mx - y - m + 4 = 0$，得$(x - 1)m + (-y + 4) = 0$。令$\begin{cases}x - 1 = 0\\-y + 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$，故直线l恒过定点$(1,4)$。
方法二:由$mx - y - m + 4 = 0$，得$y - 4 = m(x - 1)$，表示过点$(1,4)$的点斜式方程，即直线恒过定点$(1,4)$。
(2)设$P(1,4)$，则直线OP的斜率为$k = \frac{4 - 0}{1 - 0} = 4$。要使l不经过第二象限，需斜率$m≥k = 4$，所以m的取值范围为$[4,+∞)$。
母题探究:存在实数m。由本例
(1)知，直线l恒过第一象限的点$(1,4)$，设直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，则$A(\frac{m - 4}{m},0)$，$B(0,4 - m)$（$m≠0$），由题意，得$\begin{cases}\frac{m - 4}{m}＞0\\4 - m＞0\end{cases}$，解得$m ＜ 0$，所以存在实数$m ＜ 0$，使得直线l与x轴和y轴的正半轴都相交。
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|OA|\cdot|OB| = \frac{1}{2}|\frac{m - 4}{m}|\cdot|4 - m| = \frac{1}{2}|\frac{m^{2} - 8m + 16}{m}| = \frac{1}{2}|m + \frac{16}{m} - 8|$。
因为$m ＜ 0$，所以$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}[(-m) + \frac{16}{(-m)}] + 4≥\frac{1}{2}×2\sqrt{16} + 4 = 8$，当$-m = -\frac{16}{m}$，即$m = -4$时，$\triangle OAB$的面积取得最小值8。

答案：
(1)方法一:由$mx - y - m + 4 = 0$，得$(x - 1)m + (-y + 4) = 0$。令$\begin{cases}x - 1 = 0\\-y + 4 = 0\end{cases}$，得$\begin{cases}x = 1\\y = 4\end{cases}$，故直线l恒过定点$(1,4)$。
方法二:由$mx - y - m + 4 = 0$，得$y - 4 = m(x - 1)$，表示过点$(1,4)$的点斜式方程，即直线恒过定点$(1,4)$。
(2)设$P(1,4)$，则直线OP的斜率为$k = \frac{4 - 0}{1 - 0} = 4$。要使l不经过第二象限，需斜率$m≥k = 4$，所以m的取值范围为$[4,+∞)$。
母题探究:存在实数m。由本例
(1)知，直线l恒过第一象限的点$(1,4)$，设直线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，则$A(\frac{m - 4}{m},0)$，$B(0,4 - m)$（$m≠0$），由题意，得$\begin{cases}\frac{m - 4}{m}＞0\\4 - m＞0\end{cases}$，解得$m ＜ 0$，所以存在实数$m ＜ 0$，使得直线l与x轴和y轴的正半轴都相交。
$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}|OA|\cdot|OB| = \frac{1}{2}|\frac{m - 4}{m}|\cdot|4 - m| = \frac{1}{2}|\frac{m^{2} - 8m + 16}{m}| = \frac{1}{2}|m + \frac{16}{m} - 8|$。
因为$m ＜ 0$，所以$S_{\triangle OAB} = \frac{1}{2}[(-m) + \frac{16}{(-m)}] + 4≥\frac{1}{2}×2\sqrt{16} + 4 = 8$，当$-m = -\frac{16}{m}$，即$m = -4$时，$\triangle OAB$的面积取得最小值8。

跟踪训练3 已知过定点$M$的直线$y - 3 = k(x - 4)(k ∈ \mathbf{R})$分别交$x$轴、$y$轴的正半轴于点$A$,$B$,$O$为坐标原点。
(1) 若$M$是线段$AB$的中点,求实数$k$的值；
(2) 求$\vert OA\vert + \vert OB\vert$的最小值。
(1)$-\frac{3}{4}$
(2)$7 + 4\sqrt{3}$

答案：
(1)由题易得直线AB过定点$M(4,3)$，又M为AB的中点，故$A(8,0)$，故$k = \frac{3 - 0}{4 - 8} = -\frac{3}{4}$。
(2)设$A(a,0)$，$B(0,b)$，其中$a ＞ 0$，$b ＞ 0$，则直线AB的方程可写成$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$，将$M(4,3)$代入得，$\frac{4}{a} + \frac{3}{b} = 1$，故$|OA| + |OB| = a + b = (a + b)(\frac{4}{a} + \frac{3}{b}) = 7 + \frac{4b}{a} + \frac{3a}{b}≥7 + 4\sqrt{3}$，当且仅当$\frac{4b}{a} = \frac{3a}{b}$，即$2b = \sqrt{3}a$，$k = -\frac{b}{a} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$时取等号，故$|OA| + |OB|$的最小值为$7 + 4\sqrt{3}$。

1.(教材$P_{67}T_{8(3)}$改编)过点$(3,2)且垂直于直线x - 2y + 1 = 0$的直线方程为(2x + y - 8 = 0)
A.$2x - y - 4 = 0$
B.$2x - y + 4 = 0$
C.$2x + y - 8 = 0$
D.$x - 2y + 4 = 0$

答案： 解析:选C.若直线与$x - 2y + 1 = 0$垂直，则其斜率为$k = -\frac{1}{\frac{1}{2}} = -2$，又该直线过点$(3,2)$，根据点斜式有$y - 2 = -2(x - 3)$，整理得$2x + y - 8 = 0$。

2.(多选)(教材$P_{66}T_{2}$改编)已知直线$2x + y + 3 = 0$,则下列说法正确的是(BD)
A.直线过点$(-1,1)$
B.直线的斜率为$-2$
C.直线在$x轴上的截距为-3$
D.直线在$y轴上的截距为-3$

答案： 解析:选BD.对于A，因为$2×(-1) + 1 + 3 = 2≠0$，即直线不过点$(-1,1)$，所以A不正确；对于B，D，由$2x + y + 3 = 0$，得到$y = -2x - 3$，所以直线斜率为$-2$，在y轴上的截距为$-3$，所以B，D正确；对于C，由直线$2x + y + 3 = 0$，令$y = 0$，得到$x = -\frac{3}{2}$，所以C不正确。