《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1(教材$ P_{114}T_1 $改编)
直线$ l:\sqrt{3}x + y - \sqrt{3}= 0 与椭圆 C:\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}= 1 $的一个交点坐标为(D)
A.$ (2,\sqrt{3}) $
B.$ (\frac{2}{13},\frac{11\sqrt{3}}{13}) $
C.$ (-2,3\sqrt{3}) $
D.$ (-\frac{2}{13},\frac{15\sqrt{3}}{13}) $

答案： D

2. (多选)已知椭圆$ E:\frac{x^{2}}{m^{2}}+\frac{y^{2}}{4}= 1 $,对于任意实数$ k $,下列直线被椭圆$ E $截得的弦长与 l:y = kx + 1 被椭圆 E 截得的弦长一定相等的是(BCD)
A.$ kx + y - 2 = 0 $
B.$ kx + y + 1 = 0 $
C.$ kx + y - 1 = 0 $
D.$ kx - y - 1 = 0 $

答案： BCD

3. 已知直线$ l:y = x - 3 与椭圆 C:\frac{y^{2}}{4m}+\frac{x^{2}}{m}= 1(m ＞ 0) $相交,则$ C $的长轴长的取值范围是$(\frac{12\sqrt{5}}{5}, +\infty)$。

答案： $(\frac{12\sqrt{5}}{5}, +\infty)$

4. 已知椭圆$ M:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-3}= 1(a ＞ \sqrt{3}) $的长轴长是短轴长的$\sqrt{2}$倍。
(1)求$ M $的方程；
(2)若倾斜角为$\frac{\pi}{4}$的直线$ l $与$ M $交于$ A,B $两点,线段$ AB $的中点坐标为$(m,\frac{1}{2})$,求$ m $。
(1)$M$的方程为$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$；
(2)$m = -1$

答案：
(1)$M$的方程为$\frac{x^{2}}{6} + \frac{y^{2}}{3} = 1$；
(2)$m = -1$

1. 与椭圆 $ 9x^{2}+4y^{2}= 36 $ 有相同焦点,且短轴长为 2 的椭圆的标准方程为 ($\frac {y^{2}}{6}+x^{2}=1$)
A.$ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}= 1 $
B.$ \dfrac{y^{2}}{6}+x^{2}= 1 $
C.$ \dfrac{x^{2}}{6}+y^{2}= 1 $
D.$ \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{5}= 1 $

答案： 选 B. 椭圆$9x^{2}+4y^{2}=36$可化为标准方程$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{9}=1$，可知椭圆$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{9}=1$的焦点在 y 轴上，焦点坐标为$(0,\pm \sqrt {5})$，故可设所求椭圆的标准方程为$\frac {y^{2}}{a^{2}}+\frac {x^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，则$c=\sqrt {5}$。又$2b=2$，即$b=1$，所以$a^{2}=b^{2}+c^{2}=6$，故所求椭圆的标准方程为$\frac {y^{2}}{6}+x^{2}=1$。