《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

已知两条直线的方程是 $ l_1:A_1x + B_1y + C_1 = 0, l_2:A_2x + B_2y + C_2 = 0 $,设这两条直线的交点为 $ P $,则点 $ P $ 既在直线 $\textcircled{1}$l₁上,也在直线 $\textcircled{2}$l₂上。所以点 $ P $ 的坐标既满足直线 $ l_1 $ 的方程 $ A_1x + B_1y + C_1 = 0 $,也满足直线 $ l_2 $ 的方程 $ A_2x + B_2y + C_2 = 0 $,即点 $ P $ 的坐标是方程组 $ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1 = 0, \\ A_2x + B_2y + C_2 = 0 \end{cases} $ 的解。

答案： ①l₁　②l₂

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交。(×)
(2) 若两直线的方程组成的方程组有唯一解,则两直线相交。(√)
(3) 直线 $ x + y = 0 $ 和 $ 2x + 2y + 3 = 0 $ 的交点有无数个。(×)
(4) 直线 $ x = 1 $ 与 $ y = 2 $ 的交点坐标是 $ (1,2) $。(√)

答案：
(1)×　
(2)√　
(3)×　
(4)√

2. 若直线 $ y = 2x + 6 $ 与直线 $ y = kx $ 的交点纵坐标为 4,则 $ k $ 的值是(-4)
A.-4
B.-2
C.2
D.4

答案： 解析:选A.因为直线y=2x+6与直线y=kx的交点纵坐标为4,所以将y=4 代入直线方程y=2x+6中,得x=-1.所以交点坐标为(-1,4).将交点坐标(-1,4)代入y=kx中,得k=-4.

3. 已知直线 $ l_1:x - y + 1 = 0, l_2:2x - y - 1 = 0 $,则过 $ l_1 $ 和 $ l_2 $ 的交点且与直线 $ 3x + 4y = 0 $ 垂直的直线方程为4x-3y+1=0。

答案： 解析:由l₁:x-y+1=0,l₂:2x-y-1 =0,联立方程可得{x=2,y=3}.
　又直线3x+4y=0的斜率为-3/4，所以所求的直线斜率为4/3,故直线方程为y-3=4/3(x-2),即4x-3y+1=0.
　答案:4x-3y+1=0

答案： ①√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)　②√(x²+y²)

[例 1] (1) 已知点 $ A(-1,2), B(0,1), C(1,4) $,则 $ \triangle ABC $ 的形状为(B)
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形

答案： 解析:因为|AB|=√((-1-0)²+(2-1)²)=√2,|AC|=√((-1-1)²+(2-4)²)=2√2,
　|BC|=√((0-1)²+(1-4)²)=√10,所以|AB|²+|AC|²=|BC|²,故△ABC为直角三角形.
[答案]　
(1)B

(2) 已知点 $ P $ 是直线 $ y = x + 2 $ 上一点,点 $ P $ 与点 $ (4,7) $ 间的距离为 5,则点 $ P $ 的坐标为(1,3)或(8,10)。

答案： 解析:因为点P是直线y=x+2上一点，可设P(m,m+2),
　则√((4-m)²+(5-(m+2))²)=5,
　解得m=1或m=8,
　所以点P的坐标为(1,3)或(8,10).
[答案]　
(2)(1,3)或(8,10)

[跟踪训练 1] (1) 以 $ A(4,1), B(1,5), C(-3,2), D(0,-2) $ 为顶点的四边形 $ ABCD $ 的形状是(D)
A.梯形
B.平行四边形
C.矩形
D.正方形

答案： 解析:选D.因为A(4,1)，
B(1,5),C(-3,2),D(0,-2),所以kₐd=3/4,kₐᵦ=-4/3,kₑd=-4/3,
　且|AB|=√((4-1)²+(1-5)²)=5,|CD|=√((-3-0)²+(2+2)²)=5,所以四边形ABCD为平行四边形，
　又kₐd·kₐᵦ=-1,则四边形ABCD为矩形,又|AD|=√((4-0)²+(1+2)²)=5=|AB|，则四边形ABCD为正方形.

(2) 若直线 $ l_1:2x + 3y - 1 = 0 $ 与 $ l_2:x + ay + 2 = 0 $ 在第二象限相交于点 $ A $,且点 $ A $ 到原点的距离为 $ \sqrt{2} $,则 $ a $ 的值为-1。

答案： 解析:两直线不平行，故a≠3/2,联立l₁:2x+3y-1=0与l₂:x+ay+2 =0,
　解得{x=(a+6)/(2a-3),y=-5/(2a-3)}.因为点A在第二象限，故(a+6)/(2a-3)＜0,-5/(2a-3)＞0,解得-6＜a＜3/2,由题意得√(((a+6)/(2a-3))²+(-5/(2a-3))²)=√2,解得a=-1或a=43/7(舍去),故a =-1.
　答案:-1