《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

1. 定义
关于x,y的二元一次方程Ax + By + C = 0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式。

答案： $Ax + By + C = 0$

例1(对接教材例5)根据下列条件分别写出直线的一般式方程。
(1) 斜率为$\sqrt{3}$,且经过点$A(5,3)$；
(2) 过点$B(-3,0)$,且垂直于$x$轴；
(3) 斜率是4,在$y轴上截距为-2$；
(4) 在$x$轴、$y轴上的截距分别为-3$,$-1$。
(1)由点斜式，可得$y - 3 = \sqrt{3}(x - 5)$，则直线的一般式方程为$\sqrt{3}x - y - 5\sqrt{3} + 3 = 0$。
(2)因为直线垂直于x轴，且过点$B(-3,0)$，则直线的一般式方程为$x + 3 = 0$。
(3)由斜截式，可得$y = 4x - 2$，则直线的一般式方程为$4x - y - 2 = 0$。
(4)由截距式，可得$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$，则直线的一般式方程为$x + 3y + 3 = 0$。

答案：
(1)由点斜式，可得$y - 3 = \sqrt{3}(x - 5)$，则直线的一般式方程为$\sqrt{3}x - y - 5\sqrt{3} + 3 = 0$。
(2)因为直线垂直于x轴，且过点$B(-3,0)$，则直线的一般式方程为$x + 3 = 0$。
(3)由斜截式，可得$y = 4x - 2$，则直线的一般式方程为$4x - y - 2 = 0$。
(4)由截距式，可得$\frac{x}{-3} + \frac{y}{-1} = 1$，则直线的一般式方程为$x + 3y + 3 = 0$。

(1)(多选)下列说法中,正确的有(BD)
A.直线$y - 3x - 2 = 0在y轴上的截距是-2$
B.直线$2x - y + 5 = 0$经过第一、二、三象限
C.过点$P(1,2)且在x$轴、$y轴上的截距互为相反数的直线方程为x - y + 1 = 0$
D.过点$(5,0)$,且倾斜角为$90^{\circ}的直线方程为x - 5 = 0$

答案： 解析:选BD.对于A，令$x = 0$，得$y = 2$，则直线$y - 3x - 2 = 0$在y轴上的截距为2，故A错误；
对于B，直线$2x - y + 5 = 0$的斜率为2，在y轴上的截距为5，易知直线$2x - y + 5 = 0$经过第一、二、三象限，故B正确；对于C，当直线截距均为0时，直线经过原点，设$y = kx$，代入点$P(1,2)$，得$k = 2$，此时直线方程为$y = 2x$；当直线截距不为0时，设方程为$\frac{x}{a} + \frac{y}{a} = 1$，代入点$P(1,2)$，得$a = -1$，此时直线方程为$x - y + 1 = 0$，故C错误；
对于D，倾斜角为$90^{\circ}$的直线斜率不存在，则过点$(5,0)$并且倾斜角为$90^{\circ}$的直线方程为$x - 5 = 0$，故D正确。

(2) 已知直线$l倾斜角的余弦值为-\frac{\sqrt{5}}{5}$,且经过点$(2,1)$,则直线$l的一般式方程为$2x + y - 5 = 0。

答案： 解析:设直线l的倾斜角为α，$α∈[0,π)$，由题意知$cosα = -\frac{\sqrt{5}}{5}$，则$sinα = \sqrt{1 - cos^{2}α} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$，所以斜率$k = tanα = \frac{sinα}{cosα} = -2$，又直线过点$(2,1)$，所以直线l的方程为$y - 1 = -2(x - 2)$，即直线l的一般式方程为$2x + y - 5 = 0$。
答案:$2x + y - 5 = 0$

例2 求满足下列条件的直线$l$的方程：
(1) 直线$l过点(-2,1)$,且与直线$x + y - 3 = 0$平行；
(2) 直线$l过点(-1,2)$,且与直线$x + 3y + 1 = 0$垂直。
(1)方法一:由直线l与直线$x + y - 3 = 0$平行，可得l的斜率$k = -1$。
又l过点$(-2,1)$，由点斜式可得$l:y - 1 = -(x + 2)$，即$l:x + y + 1 = 0$。
方法二:由l与直线$x + y - 3 = 0$平行，可设l的方程为$x + y + m = 0$（$m≠ - 3$），将点$(-2,1)$代入上式得$m = 1$，所以所求直线l的方程为$x + y + 1 = 0$。
(2)方法一:由直线$x + 3y + 1 = 0$的斜率为$-\frac{1}{3}$，直线l与直线$x + 3y + 1 = 0$垂直，可得直线l的斜率$k = 3$，又l过点$(-1,2)$，由点斜式可得$l:y - 2 = 3(x + 1)$，即$l:3x - y + 5 = 0$。
方法二:由l与直线$x + 3y + 1 = 0$垂直，可设l的方程为$3x - y + n = 0$，将点$(-1,2)$代入上式得$n = 5$，所以所求直线的方程为$3x - y + 5 = 0$。

答案：
(1)方法一:由直线l与直线$x + y - 3 = 0$平行，可得l的斜率$k = -1$。
又l过点$(-2,1)$，由点斜式可得$l:y - 1 = -(x + 2)$，即$l:x + y + 1 = 0$。
方法二:由l与直线$x + y - 3 = 0$平行，可设l的方程为$x + y + m = 0$（$m≠ - 3$），将点$(-2,1)$代入上式得$m = 1$，所以所求直线l的方程为$x + y + 1 = 0$。
(2)方法一:由直线$x + 3y + 1 = 0$的斜率为$-\frac{1}{3}$，直线l与直线$x + 3y + 1 = 0$垂直，可得直线l的斜率$k = 3$，又l过点$(-1,2)$，由点斜式可得$l:y - 2 = 3(x + 1)$，即$l:3x - y + 5 = 0$。
方法二:由l与直线$x + 3y + 1 = 0$垂直，可设l的方程为$3x - y + n = 0$，将点$(-1,2)$代入上式得$n = 5$，所以所求直线的方程为$3x - y + 5 = 0$。