《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例2] 已知方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}= 1(m\in R)$表示焦点在x轴上的双曲线,求实数$m$的取值范围.
因为方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$表示焦点在x轴上的双曲线，则$\begin{cases}m - 1＞0\\m - 5＜0\end{cases}$，解得$1＜m＜5$.所以实数m的取值范围为$(1,5)$.
母题探究1 方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}= 1(m\in R)$能表示焦点在y轴上的双曲线吗？若能,求出实数$m$的取值范围；若不能,请说明理由.
母题探究1:不能，若方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$表示焦点在y轴上的双曲线，则$\begin{cases}m - 1＜0\\m - 5＞0\end{cases}$，此不等式组无解，所以方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$不能表示焦点在y轴上的双曲线.
母题探究2 “$m ＞ 1$”是“方程$\frac{x^{2}}{m - 1}-\frac{y^{2}}{m - 5}= 1表示焦点在x$轴上的双曲线”的(B)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件

答案： 因为方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$表示焦点在x轴上的双曲线，则$\begin{cases}m - 1＞0\\m - 5＜0\end{cases}$，解得$1＜m＜5$.所以实数m的取值范围为$(1,5)$.
母题探究1:不能，若方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$表示焦点在y轴上的双曲线，则$\begin{cases}m - 1＜0\\m - 5＞0\end{cases}$，此不等式组无解，所以方程$\frac{x^{2}}{m - 1}+\frac{y^{2}}{m - 5}=1(m\in R)$不能表示焦点在y轴上的双曲线.
母题探究2:B

[例3] (1)已知双曲线$C:\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}= 1的两个焦点分别为F_{1}$,$F_{2}$,双曲线$C上有一点P$,若$|PF_{1}| = 5$,则$|PF_{2}|= $(A)
A.$9$
B.$1$
C.$1或9$
D.$11或9$

答案： A

(2)已知双曲线$\frac{y^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{5}= 1的两个焦点分别是F_{1}$,$F_{2}$,点$A$,$B$在双曲线上,且线段$AB经过焦点F_{1}$,$|AB| = 5$,则$\triangle ABF_{2}$的周长为$10 + 4\sqrt{3}$.

答案： $10 + 4\sqrt{3}$