《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

在四棱锥 $ P - ABCD $ 中,底面 $ ABCD $ 是边长为 $ 2 $ 的正方形,$ PC \perp PD $,$ PC = PD $,$ O $ 为 $ CD $ 的中点,二面角 $ A - CD - P $ 为直二面角。求证：$ PB \perp PD $。

证明:因为$PC = PD$，$O$为$CD$的中点，所以$PO\perp CD$，由二面角$A - CD - P$为直二面角，知平面$PCD\perp$平面$ABCD$，又平面$PCD\cap$平面$ABCD = CD$，$PO\subset$平面$PCD$，所以$PO\perp$平面$ABCD$，因为$CD = 2$，$PC\perp PD$，$PC = PD$，所以$PO = 1$，取$AB$的中点$E$，连接$OE$，则$OE\perp CD$，如图，以点$O$为坐标原点，$OD$，$OE$，$OP$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系$Oxyz$，则$D(1,0,0)$，$B(-1,2,0)$，$P(0,0,1)$，$\overrightarrow{PB}=(-1,2,-1)$，$\overrightarrow{PD}=(1,0,-1)$.因为$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=-1 + 0 + 1 = 0$，所以$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{PD}$，即$PB\perp PD$.

答案： 证明:因为$PC = PD$，$O$为$CD$的中点，所以$PO\perp CD$，由二面角$A - CD - P$为直二面角，知平面$PCD\perp$平面$ABCD$，又平面$PCD\cap$平面$ABCD = CD$，$PO\subset$平面$PCD$，所以$PO\perp$平面$ABCD$，因为$CD = 2$，$PC\perp PD$，$PC = PD$，所以$PO = 1$，取$AB$的中点$E$，连接$OE$，则$OE\perp CD$，如图，以点$O$为坐标原点，$OD$，$OE$，$OP$所在直线分别为$x$，$y$，$z$轴，建立空间直角坐标系$Oxyz$，则$D(1,0,0)$，$B(-1,2,0)$，$P(0,0,1)$，$\overrightarrow{PB}=(-1,2,-1)$，$\overrightarrow{PD}=(1,0,-1)$.因为$\overrightarrow{PB}\cdot\overrightarrow{PD}=-1 + 0 + 1 = 0$，所以$\overrightarrow{PB}\perp\overrightarrow{PD}$，即$PB\perp PD$.

二 直线与平面垂直
思考

如图,设 $ \boldsymbol{u} $ 是直线 $ l $ 的方向向量,$ \boldsymbol{n} $ 是平面 $ \alpha $ 的法向量,当直线 $ l \perp $ 平面 $ \alpha $ 时,$ \boldsymbol{u} $,$ \boldsymbol{n} $ 之间有什么关系？
方向向量 $ \boldsymbol{u} $ 与法向量 $ \boldsymbol{n} $ 平行（或共线）

答案： 方向向量 $ \boldsymbol{u} $ 与法向量 $ \boldsymbol{n} $ 平行（或共线）

设直线 $ l $ 的方向向量为 $ \boldsymbol{u} $,平面 $ \alpha $ 的法向量为 $ \boldsymbol{n} $,则 $ l \perp \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} // \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $,使得 $ \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n} $。

答案： 答题（卡）如下：
由于直线$l$的方向向量为$\boldsymbol{u}$，平面$\alpha$的法向量为$\boldsymbol{n}$。
根据空间几何的性质，直线与平面垂直当且仅当直线的方向向量与平面的法向量平行。
即：$ l \perp \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} // \boldsymbol{n} $。
而两向量平行当且仅当存在一个实数$\lambda$，使得$\boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n}$。
即：$ \boldsymbol{u} // \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $，使得$ \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n} $。
综上，$ l \perp \alpha \Leftrightarrow \boldsymbol{u} // \boldsymbol{n} \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $，使得$ \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{n} $。

例2

(对接教材例4)如

图

所示,在正方体 $ ABCD - A_1B_1C_1D_1 $ 中,$ E $,$ F $ 分别是 $ BB_1 $,$ D_1B_1 $ 的中点。
求证：
1. $ EF \perp $ 平面 $ B_1AC $；
2. $ A_1C \perp $ 平面 $ AD_1B_1 $。
1.证明:方法一:设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{b}$，连接$BD$(图略)，则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}F}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}D_{1}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right)$.因为$\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=\dfrac{1}{2}\left(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right)\cdot\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(|\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{a}|^{2}+0 + 0\right)=0$.所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，即$EF\perp AB_{1}$.同理，$EF\perp B_{1}C$.又$AB_{1}\cap B_{1}C = B_{1}$，$AB_{1}$，$B_{1}C\subset$平面$B_{1}AC$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.方法二:设正方体的棱长为2，以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$B_{1}(2,2,2)$，$E(2,2,1)$，$F(1,1,2)$.所以$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$.所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=(-1)×0 + (-1)×2 + 1×2 = 0$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)×(-2) + (-1)×2 + 1×0 = 0$，所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AC}$，所以$EF\perp AB_{1}$，$EF\perp AC$.又$AB_{1}\cap AC = A$，$AB_{1}$，$AC\subset$平面$B_{1}AC$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.方法三:由方法二得$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,1)$.设平面$B_{1}AC$的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{AC}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2y + 2z = 0\\-2x + 2y = 0\end{cases}$，取$x = 1$，则$y = 1$，$z = -1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$，所以$\overrightarrow{EF}=-\boldsymbol{n}$，所以$\overrightarrow{EF}//\boldsymbol{n}$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.
2.证明:由(1)方法二得，$B_{1}(2,2,2)$，$D_{1}(0,0,2)$，$A_{1}(2,0,2)$，$C(0,2,0)$，所以$\overrightarrow{D_{1}B_{1}}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(-2,2,-2)$.又$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=(-2)×0 + 2×2 + (-2)×2 = 0$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，即$A_{1}C\perp AB_{1}$.$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot\overrightarrow{D_{1}B_{1}}=(-2)×2 + 2×2 + (-2)×0 = 0$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\perp\overrightarrow{D_{1}B_{1}}$，所以$A_{1}C\perp D_{1}B_{1}$.又因为$AB_{1}\cap D_{1}B_{1}=B_{1}$，$AB_{1}$，$D_{1}B_{1}\subset$平面$AD_{1}B_{1}$，所以$A_{1}C\perp$平面$AD_{1}B_{1}$.

答案： 1.证明:方法一:设$\overrightarrow{AB}=\boldsymbol{a}$，$\overrightarrow{AD}=\boldsymbol{c}$，$\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{b}$，连接$BD$(图略)，则$\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{EB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}F}=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{BB_{1}}+\overrightarrow{B_{1}D_{1}}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{BD}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\overrightarrow{AA_{1}}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}\right)=\dfrac{1}{2}\left(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right)$.因为$\overrightarrow{AB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BB_{1}}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AA_{1}}=\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}$，所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=\dfrac{1}{2}\left(-\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}\right)\cdot\left(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(\boldsymbol{b}^{2}-\boldsymbol{a}^{2}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{a}+\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{b}\right)=\dfrac{1}{2}\left(|\boldsymbol{b}|^{2}-|\boldsymbol{a}|^{2}+0 + 0\right)=0$.所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，即$EF\perp AB_{1}$.同理，$EF\perp B_{1}C$.又$AB_{1}\cap B_{1}C = B_{1}$，$AB_{1}$，$B_{1}C\subset$平面$B_{1}AC$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.方法二:设正方体的棱长为2，以$D$为原点，$DA$，$DC$，$DD_{1}$所在直线分别为$x$轴、$y$轴、$z$轴建立如图所示的空间直角坐标系，则$A(2,0,0)$，$C(0,2,0)$，$B_{1}(2,2,2)$，$E(2,2,1)$，$F(1,1,2)$.所以$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,1)$，$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$.所以$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=(-1)×0 + (-1)×2 + 1×2 = 0$，$\overrightarrow{EF}\cdot\overrightarrow{AC}=(-1)×(-2) + (-1)×2 + 1×0 = 0$，所以$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，$\overrightarrow{EF}\perp\overrightarrow{AC}$，所以$EF\perp AB_{1}$，$EF\perp AC$.又$AB_{1}\cap AC = A$，$AB_{1}$，$AC\subset$平面$B_{1}AC$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.方法三:由方法二得$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，$\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$，$\overrightarrow{EF}=(-1,-1,1)$.设平面$B_{1}AC$的法向量$\boldsymbol{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{AB_{1}}\cdot\boldsymbol{n}=0\\\overrightarrow{AC}\cdot\boldsymbol{n}=0\end{cases}$，即$\begin{cases}2y + 2z = 0\\-2x + 2y = 0\end{cases}$，取$x = 1$，则$y = 1$，$z = -1$，所以$\boldsymbol{n}=(1,1,-1)$，所以$\overrightarrow{EF}=-\boldsymbol{n}$，所以$\overrightarrow{EF}//\boldsymbol{n}$，所以$EF\perp$平面$B_{1}AC$.2.证明:由
(1)方法二得，$B_{1}(2,2,2)$，$D_{1}(0,0,2)$，$A_{1}(2,0,2)$，$C(0,2,0)$，所以$\overrightarrow{D_{1}B_{1}}=(2,2,0)$，$\overrightarrow{A_{1}C}=(-2,2,-2)$.又$\overrightarrow{AB_{1}}=(0,2,2)$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot\overrightarrow{AB_{1}}=(-2)×0 + 2×2 + (-2)×2 = 0$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\perp\overrightarrow{AB_{1}}$，即$A_{1}C\perp AB_{1}$.$\overrightarrow{A_{1}C}\cdot\overrightarrow{D_{1}B_{1}}=(-2)×2 + 2×2 + (-2)×0 = 0$，所以$\overrightarrow{A_{1}C}\perp\overrightarrow{D_{1}B_{1}}$，所以$A_{1}C\perp D_{1}B_{1}$.又因为$AB_{1}\cap D_{1}B_{1}=B_{1}$，$AB_{1}$，$D_{1}B_{1}\subset$平面$AD_{1}B_{1}$，所以$A_{1}C\perp$平面$AD_{1}B_{1}$.