《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

如图,已知空间四边形 $ABCD$,连接 $AC$,$BD$,点 $E$,$F$,$G$ 分别是 $BC$,$CD$,$BD$ 的中点,请化简：

(1) $\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{CB} - \overrightarrow{DC}$；
(2) $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{GD} + \overrightarrow{EC}$,并在图中标出化简结果的向量。

答案：

(1)$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
(2)如图所示， 连接GF，因为点E，F，G分别是BC，CD，BD的中点，所以$\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{BG},\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{GF}$，所以$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{GD}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BG}+\overrightarrow{GF}=\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{AF}$如图所示.

三 空间向量的数乘运算
思考 平面向量的数乘运算中,实数 $\lambda$ 对向量 $\lambda a$ 起到什么作用？
提示:$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$且当$\lambda＞0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$的方向相同；当$\lambda＜0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$的方向相反.

答案： 提示:$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$且当$\lambda＞0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$的方向相同；当$\lambda＜0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$与向量$\boldsymbol{a}$的方向相反.

### 2.2.3 向量数乘运算及其几何意义
我们规定实数λ与向量$\boldsymbol{a}$的积是一个①向量，这种运算叫做向量的数乘，记作$\lambda\boldsymbol{a}$，它的长度与方向规定如下：
(1)$|\lambda\boldsymbol{a}|=|\lambda||\boldsymbol{a}|$；
(2)当$\lambda>0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$的方向与$\boldsymbol{a}$的方向②相同；当$\lambda<0$时，$\lambda\boldsymbol{a}$的方向与$\boldsymbol{a}$的方向③相反；$\lambda=0$时，$\lambda\boldsymbol{a}=\boldsymbol{0}$.

向量数乘运算满足如下运算律：
设λ，μ为实数，则
(1)$\lambda(\mu\boldsymbol{a})=$⑤$(\lambda\mu)\boldsymbol{a}$；
(2)$(\lambda+\mu)\boldsymbol{a}=$⑥$\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}$；
(3)$\lambda(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=$⑦$\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$.

特别地，我们有
$(-\lambda)\boldsymbol{a}=-(\lambda\boldsymbol{a})=\lambda(-\boldsymbol{a})$，
$\lambda(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})=\lambda\boldsymbol{a}-\lambda\boldsymbol{b}$.

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，以及任意实数λ，μ₁，μ₂，恒有
$\lambda(\mu₁\boldsymbol{a}\pm\mu₂\boldsymbol{b})=\lambda\mu₁\boldsymbol{a}\pm\lambda\mu₂\boldsymbol{b}$.

定理：向量$\boldsymbol{b}$与非零向量$\boldsymbol{a}$共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使$\boldsymbol{b}=\lambda\boldsymbol{a}$.

答案： ①向量 ②相同 ③相反 ④$|\lambda|$ ⑤$(\lambda\mu)\boldsymbol{a}$ ⑥$\lambda\boldsymbol{a}+\mu\boldsymbol{a}$ ⑦$\lambda\boldsymbol{a}+\lambda\boldsymbol{b}$

[例2](角度1：利用数乘运算表示向量)
如图,$M$ 是四面体 $OABC$ 的棱 $BC$ 的中点,点 $N$ 在线段 $OM$ 上,点 $P$ 在线段 $AN$ 上,且 $MN = \frac{1}{2}ON$,$AP = \frac{3}{4}AN$,用向量 $\overrightarrow{OA}$,$\overrightarrow{OB}$,$\overrightarrow{OC}$ 表示 $\overrightarrow{OP}$。

因为M是BC的中点，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，因为$MN=\frac{1}{2}ON$，所以$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，所以$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，因为$AP=\frac{3}{4}AN$，所以$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}(-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC})=-\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$，所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+(-\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}.$

答案： 因为M是BC的中点，所以$\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})=\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}$，因为$MN=\frac{1}{2}ON$，所以$\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\overrightarrow{OM}=\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，所以$\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OA}=-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC}$，因为$AP=\frac{3}{4}AN$，所以$\overrightarrow{AP}=\frac{3}{4}\overrightarrow{AN}=\frac{3}{4}(-\overrightarrow{OA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{OC})=-\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}$，所以$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{OA}+(-\frac{3}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC})=\frac{1}{4}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{4}\overrightarrow{OC}.$