《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

4. (教材 $ P_{29}T_3 $ 改编)如图所示,在三棱锥 $ O - ABC $ 中建立空间直角坐标系,$ O(0, 0, 0) $,$ A(a, 0, 0) $,$ B(0, b, 0) $,$ C(0, 0, c) $,其中 $ abc \neq 0 $,求平面 $ ABC $ 的一个法向量。

平面ABC的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(bc,ac,ab)$。

答案： 平面ABC的一个法向量为$\boldsymbol{n}=(bc,ac,ab)$。

一 直线与直线平行
思考 由直线与直线的平行关系,可以得到平行直线的方向向量具有什么关系？
平行.

答案： 平行.

设 $ \boldsymbol{u}_1,\boldsymbol{u}_2 $ 分别是直线 $ l_1,l_2 $ 的方向向量,则 $ l_1 // l_2 \Leftrightarrow $ ①$u_{1}// u_{2}$ $ \Leftrightarrow \exists \lambda \in \mathbb{R} $,使得 $ \boldsymbol{u}_1 = $ ②$\lambda u_{2}$。

答案： ①$u_{1}// u_{2}$ ②$\lambda u_{2}$

例 1
如图，在四棱锥 $ P - ABCD $ 中，底面 $ ABCD $ 为矩形，$ PD \perp $ 平面 $ ABCD $，$ E $ 为 $ CP $ 的中点，$ N $ 为 $ DE $ 的中点，$ DM = \frac{1}{4}DB $，$ DA = DP = 1 $，$ CD = 2 $。求证：$ MN // AP $。

答案：
[证明]　方法一:由题意知，直线DA，DC，DP两两垂直，如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，
则$A(1,0,0)$，$P(0,0,1)$，$N(0,\frac{1}{2},\frac{1}{4})$，$M(\frac{1}{4},\frac{1}{2},0)$，所以$\overrightarrow{AP}=(-1,0,1)$，$\overrightarrow{MN}=(-\frac{1}{4},0,\frac{1}{4})$，所以$\overrightarrow{MN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，又$M$，$N∉AP$，故$MN// AP$。方法二:由题意可得，$\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DN}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DE}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{2}×\frac{1}{2}(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DP})=\frac{1}{4}\overrightarrow{BD}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}\overrightarrow{BC}+\frac{1}{4}\overrightarrow{DP}=\frac{1}{4}(\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DP})=\frac{1}{4}\overrightarrow{AP}$，又$M$，$N∉AP$，所以$MN// AP$。