《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

(2) 已知直线 $ l_1:3x - 2y - 1 = 0 $ 和直线 $ l_2:3x - 2y - 13 = 0 $,直线 $ l $ 与 $ l_1,l_2 $ 的距离分别为 $ d_1,d_2 $,若 $ d_1:d_2 = 1:2 $,则直线 $ l $ 的方程为 $\underline{3x−2y + 11 = 0或3x−2y−5 = 0}$。
母题探究 本例(2)的条件“$ d_1:d_2 = 1:2 $”改为“$ d_1 = d_2 $”,求直线 $ l $ 的方程。

答案： $3x−2y + 11 = 0$或$3x−2y−5 = 0$

[例 3] 已知两条互相平行的直线分别过点 $ A(6,2) $ 和 $ B(-3,-1) $,并且各自绕着点 $ A,B $ 同时旋转(旋转过程两条直线保持平行),设两条平行直线间的距离为 $ d $。
(1) 求 $ d $ 的取值范围；
(2) 当 $ d $ 取最大值时,求两条直线的方程。
(1)如图所示，显然有$0 ＜ d ≤|AB|$，而$|AB|=\sqrt{(6 + 3)^{2}+(2 + 1)^{2}}=3\sqrt{10}$，故$d$的取值范围为$(0,3\sqrt{10}]$。
(2)当$d$取最大值时，两条平行直线都垂直于线段$AB$，所以$k = -\frac {1}{k_{AB}}=-\frac {1}{\frac {2 - (-1)}{6 - (-3)}}=-3$，故所求直线方程分别为$y - 2 = -3(x - 6)$，$y + 1 = -3(x + 3)$，即$3x + y - 20 = 0$和$3x + y + 10 = 0$。

答案：
(1)如图所示，显然有$0 ＜ d ≤|AB|$，而$|AB|=\sqrt{(6 + 3)^{2}+(2 + 1)^{2}}=3\sqrt{10}$，故$d$的取值范围为$(0,3\sqrt{10}]$.
(2)当$d$取最大值时，两条平行直线都垂直于线段$AB$，所以$k = -\frac {1}{k_{AB}}=-\frac {1}{\frac {2 - (-1)}{6 - (-3)}}=-3$，故所求直线方程分别为$y - 2 = -3(x - 6)$，$y + 1 = -3(x + 3)$，即$3x + y - 20 = 0$和$3x + y + 10 = 0$.

[跟踪训练 2] (1) 若 $ P,Q $ 分别为 $ 3x + 4y - 6 = 0 $ 与 $ 6x + 8y + 3 = 0 $ 上任一点,则 $ |PQ| $ 的最小值为 (C)
A.$ \frac{9}{10} $
B.$ \frac{9}{5} $
C.$ \frac{3}{2} $
D.$ \frac{6}{5} $

答案：
(1)C

(2) 已知两条平行直线 $ l_1:\sqrt{3}x - y + 1 = 0 $ 和 $ l_2:\sqrt{3}x - y + a = 0 $ 之间的距离小于 $ 1 $,则 $ a $ 的取值范围为 $\underline{$(-1,1)\cup(1,3)$}$。

答案： $(-1,1)\cup(1,3)$