《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

已知过点 $P(0,-2)$ 的直线 $l$ 与以点 $A(3,1)$ 和 $B(-2\sqrt{3},4)$ 为端点的线段 $AB$ 相交,求直线 $l$ 的斜率的取值范围。
母题探究
本例条件不变,求直线 $l$ 的倾斜角 $\alpha$ 的取值范围。
由题意作出图形,如图,因为$k_{PA}=\frac{1-(-2)}{3-0}=1$,$k_{PB}=\frac{4-(-2)}{-2\sqrt{3}-0}=-\sqrt{3}$,若要使直线l与线段AB相交,则$k_l≥k_{PA}$或$k_l≤k_{PB}$,所以直线l的斜率的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$。
[母题探究]解:由例题可知,直线l的斜率满足$k_l≥1$或$k_l≤-\sqrt{3}$,所以$\tan\alpha≥1$或$\tan\alpha≤-\sqrt{3}$,因为$0≤\alpha＜\pi$,且当$\alpha=\frac{\pi}{2}$时符合题意,所以$\frac{\pi}{4}≤\alpha≤\frac{2\pi}{3}$.所以直线l的倾斜角α的取值范围为$[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$。

答案： 由题意作出图形,如图,因为$k_{PA}=\frac{1-(-2)}{3-0}=1$,$k_{PB}=\frac{4-(-2)}{-2\sqrt{3}-0}=-\sqrt{3}$,若要使直线l与线段AB相交,则$k_l≥k_{PA}$或$k_l≤k_{PB}$,所以直线l的斜率的取值范围为$(-\infty,-\sqrt{3}]\cup[1,+\infty)$.
[母题探究]解:由例题可知,直线l的斜率满足$k_l≥1$或$k_l≤-\sqrt{3}$,所以$\tan\alpha≥1$或$\tan\alpha≤-\sqrt{3}$,因为$0≤\alpha＜\pi$,且当$\alpha=\frac{\pi}{2}$时符合题意,所以$\frac{\pi}{4}≤\alpha≤\frac{2\pi}{3}$.所以直线l的倾斜角α的取值范围为$[\frac{\pi}{4},\frac{2\pi}{3}]$.

(1)若 $A(-2,3)$,$B(3,-2)$,$C(\frac{1}{2},m)$ 三点在同一条直线上,则 $m$ 的值为 (D)
A.$-2$
B.$2$
C.$-\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： D

(2)(2025·驻马店期中)已知 $M(1,3)$,$N(2,1)$,若点 $P(x,y)$ 在线段 $MN$ 上,则 $\frac{y}{x + 2}$ 的取值范围是 $[\frac{1}{4},1]$。

答案： $[\frac{1}{4},1]$

1. 已知点 $A(2,5)$,$B(4,11)$,则直线 $AB$ 的斜率为 (C)
A.$-3$
B.$\frac{1}{3}$
C.$3$
D.$2$

答案： C

2. (多选)(2025·南京月考)在平面直角坐标系中,下列说法不正确的是 (ABD)
A.任意一条直线都有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角越大,则该直线的斜率越大
C.与坐标轴垂直的直线的倾斜角是 $0^{\circ}$ 或 $90^{\circ}$
D.若一条直线的倾斜角为 $\alpha$,则该直线的斜率为 $\tan\alpha$

答案： ABD