《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

2. (2025·北京期末)已知椭圆 $ C $ 的焦点为 $ F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0) $.过点 $ F_{1} $ 的直线与椭圆 $ C $ 交于 $ A,B $ 两点.若 $ \triangle ABF_{2} $ 的周长为 8,则椭圆 $ C $ 的标准方程为 (D)
A.$ \dfrac{x^{2}}{16}+\dfrac{y^{2}}{15}= 1 $
B.$ \dfrac{x^{2}}{8}+\dfrac{y^{2}}{7}= 1 $
C.$ \dfrac{x^{2}}{3}+\dfrac{y^{2}}{4}= 1 $
D.$ \dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}= 1 $

答案： 选 D. 因为椭圆 C 的焦点为$F_{1}(-1,0),F_{2}(1,0)$，所以$c=1$，椭圆的焦点在 x 轴上。又过点$F_{1}$的直线与 C 交于 A，B 两点，$\triangle ABF_{2}$的周长为 8，则根据椭圆定义可得$|AF_{2}|+|BF_{2}|+|AB|=|AF_{2}|+|BF_{2}|+|AF_{1}|+|BF_{1}|=4a=8$，解得$a=2$，因此$b^{2}=a^{2}-c^{2}=3$，所以椭圆 C 的标准方程为$\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{3}=1$。

3. 已知过椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0) $ 右焦点 $ F $ 的直线 $ l:x - y - 2 = 0 $ 交 $ C $ 于 $ A,B $ 两点,$ P $ 为 $ AB $ 的中点,且 $ OP $ 的斜率为 $ -\dfrac{1}{2} $,则椭圆 $ C $ 的标准方程为$\frac {x^{2}}{8}+\frac {y^{2}}{4}=1$.

答案： 解析：在$x - y - 2 = 0$中令$y = 0$得$x = 2$，所以椭圆右焦点为$F(2,0)$，即$c = 2$。设$A(x_{1},y_{1}),B(x_{2},y_{2}),P(x_{0},y_{0})$，$2x_{0}=x_{1}+x_{2}$，$2y_{0}=y_{1}+y_{2}$。因为 A，B 在椭圆$\frac {x^{2}}{a^{2}}+\frac {y^{2}}{b^{2}}=1$上，所以$\begin{cases}\frac {x_{1}^{2}}{a^{2}}+\frac {y_{1}^{2}}{b^{2}}=1\frac {x_{2}^{2}}{a^{2}}+\frac {y_{2}^{2}}{b^{2}}=1\end{cases}$，两式相减得$\frac {(x_{1}+x_{2})(x_{1}-x_{2})}{a^{2}}+\frac {(y_{1}+y_{2})(y_{1}-y_{2})}{b^{2}}=0$。因为$x_{1}≠x_{2}$，所以$\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}=-\frac {b^{2}(x_{1}+x_{2})}{a^{2}(y_{1}+y_{2})}=-\frac {b^{2}x_{0}}{a^{2}y_{0}}$，即$k_{AB}=-\frac {b^{2}}{a^{2}k_{OP}}$，从而$-\frac {b^{2}}{a^{2}\cdot (-\frac {1}{2})}=1$，所以$a^{2}=2b^{2}$。又$c^{2}=a^{2}-b^{2}=b^{2}=4$，因此$a^{2}=8$，所以椭圆 C 的标准方程为$\frac {x^{2}}{8}+\frac {y^{2}}{4}=1$。答案：$\frac {x^{2}}{8}+\frac {y^{2}}{4}=1$

1. (2025·东营期中)已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{m}+\dfrac{y^{2}}{4}= 1(m＞4) $ 的离心率为 $ \dfrac{\sqrt{3}}{3} $,则椭圆 $ C $ 的长轴长为 (C)
A.$ \sqrt{6} $
B.6
C.$ 2\sqrt{6} $
D.12

答案： 选 C. 由题意可知$e=\frac {c}{a}=\sqrt {1 - \frac {b^{2}}{a^{2}}}=\sqrt {1 - \frac {4}{m}}=\frac {\sqrt {3}}{3}$，解得$m = 6$，即$a = \sqrt {6}$，所以椭圆 C 的长轴长为$2a = 2\sqrt {6}$。

2. (2025·洛阳期中)椭圆 $ \dfrac{x^{2}}{9}+\dfrac{y^{2}}{4}= 1 $ 与 $ \dfrac{x^{2}}{9 - m}+\dfrac{y^{2}}{4 - m}= 1(m＜4 $ 且 $ m\neq0) $ 的 (C)
A.长轴长相等
B.短轴长相等
C.焦距相等
D.离心率相等

答案： 选 C. 对于椭圆$\frac {x^{2}}{9}+\frac {y^{2}}{4}=1$，$a = 3$，$b = 2$，所以$c = \sqrt {a^{2}-b^{2}}=\sqrt {5}$，所以该椭圆的长轴长为 6，短轴长为 4，焦距为$2\sqrt {5}$，离心率为$e=\frac {c}{a}=\frac {\sqrt {5}}{3}$。对于$\frac {x^{2}}{9 - m}+\frac {y^{2}}{4 - m}=1(m ＜ 4$且$m≠0)$，则$9 - m ＞ 0$，$4 - m ＞ 0$，该方程表示的是焦点在 x 轴上的椭圆，则$a = \sqrt {9 - m}$，$b = \sqrt {4 - m}$，所以$c = \sqrt {a^{2}-b^{2}}=\sqrt {5}$，长轴长为$2\sqrt {9 - m}$，短轴长为$2\sqrt {4 - m}$，焦距为$2\sqrt {5}$，离心率为$e=\frac {c}{a}=\frac {\sqrt {5}}{\sqrt {9 - m}}$。所以两个椭圆的焦距相等，都为$2\sqrt {5}$。

3. 已知椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}= 1 $ 的左、右顶点分别为 $ A,B $,点 $ P $ 是椭圆 $ C $ 上异于 $ A,B $ 的任意一点,则直线 $ PA,PB $ 的斜率之积为$-\dfrac{3}{4}$.

答案： 解析：由题意可得$a = 2$，则$A(-2,0)$，$B(2,0)$。设$P(x_{0},y_{0})(x_{0}≠\pm 2)$，则$\frac {x_{0}^{2}}{4}+\frac {y_{0}^{2}}{3}=1$，整理得$y_{0}^{2}=-\frac {3(x_{0}^{2}-4)}{4}$，可得直线 PA，PB 的斜率分别为$k_{PA}=\frac {y_{0}}{x_{0}+2}$，$k_{PB}=\frac {y_{0}}{x_{0}-2}$，所以$k_{PA}\cdot k_{PB}=\frac {y_{0}}{x_{0}+2}\cdot \frac {y_{0}}{x_{0}-2}=\frac {y_{0}^{2}}{x_{0}^{2}-4}=\frac {-\frac {3(x_{0}^{2}-4)}{4}}{x_{0}^{2}-4}=-\frac {3}{4}$。答案：$-\frac {3}{4}$

4. 已知椭圆 $ \varGamma:\dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}= 1(a＞b＞0) $ 的焦距为 $ 2c $,若直线 $ kx - 3y+(k + 8)c = 0 $ 恒与椭圆 $ \varGamma $ 有两个不同的公共点,则椭圆 $ \varGamma $ 的离心率的取值范围是$(0,\frac {1}{3})$.

答案： 解析：将直线$kx - 3y + (k + 8)c = 0$整理可得$k(x + c) - 3y + 8c = 0$，易知该直线恒过定点$(-c,\frac {8}{3}c)$。若直线$kx - 3y + (k + 8)c = 0$恒与椭圆$\Gamma$有两个不同的公共点，可知点$(-c,\frac {8}{3}c)$在椭圆内部，易知椭圆上的点当其横坐标为 -c 时，纵坐标为$\pm \frac {b^{2}}{a}$，即可得$\frac {8}{3}c ＜ \frac {b^{2}}{a}$，整理可得$3c^{2}+8ac - 3a^{2}＜0$，即$3e^{2}+8e - 3＜0$，解得$-3 ＜ e ＜ \frac {1}{3}$，又$e ＞ 0$，故$0 ＜ e ＜ \frac {1}{3}$。答案：$(0,\frac {1}{3})$

[例 1]
(1) 已知 $ O $ 为坐标原点,$ P $ 在椭圆 $ \dfrac{x^{2}}{4}+y^{2}= 1 $ 上,则 $ |PO| $ 的最大值为2.
(2) 已知 $ P $ 是椭圆 $ \dfrac{x^{2}}{3}+y^{2}= 1 $ 上一动点,则 $ P $ 点到直线 $ l:x + y - 2\sqrt{3}= 0 $ 的距离的最小值为$\sqrt {6}-\sqrt {2}$.

答案： （1）解析：设点$P(x_{0},y_{0})$，$-1\leq y_{0}\leq1$，则有$\frac {x_{0}^{2}}{4}+y_{0}^{2}=1$，即$x_{0}^{2}=4 - 4y_{0}^{2}$。所以$|PO|=\sqrt {x_{0}^{2}+y_{0}^{2}}=\sqrt {4 - 3y_{0}^{2}}\leq2$，当$y_{0}=0$时，取最大值 2。答案：2 （2）解析：方法一：要使 P 点到直线 l 的距离最小，只要找到与椭圆相切且与 l 平行的最近的一条直线，设与 l 平行且与椭圆相切的直线为$x + y + m = 0(m≠ - 2\sqrt {3})$。联立$\begin{cases}x + y + m = 0\frac {x^{2}}{3}+y^{2}=1\end{cases}$，消去 y 整理得$4x^{2}+6mx + 3m^{2}-3 = 0$，由$\Delta = 36m^{2}-16(3m^{2}-3)=0$，解得$m = 2$或$m = - 2$。对于直线$x + y + 2 = 0$，与直线 l 的距离为$\frac {|2 + 2\sqrt {3}|}{\sqrt {2}}=\sqrt {2}+\sqrt {6}$；对于直线$x + y - 2 = 0$，与直线 l 的距离为$\frac {|-2 + 2\sqrt {3}|}{\sqrt {2}}=\sqrt {6}-\sqrt {2}$，所以 P 点到直线 l 的距离的最小值为$\sqrt {6}-\sqrt {2}$。方法二：因为点 P 在椭圆$\frac {x^{2}}{3}+y^{2}=1$上，故可设 P 点坐标是$(\sqrt {3}\cos\alpha,\sin\alpha)(0\leq\alpha\leq2\pi)$，所以点 P 到直线$l:x + y - 2\sqrt {3}=0$的距离$d=\frac {|\sqrt {3}\cos\alpha+\sin\alpha - 2\sqrt {3}|}{\sqrt {2}}=\frac {|2\sin(\alpha+\frac {\pi}{3})-2\sqrt {3}|}{\sqrt {2}}$，所以$d_{min}=\sqrt {6}-\sqrt {2}$，当且仅当$\sin(\alpha+\frac {\pi}{3})=1$，即$\alpha=\frac {\pi}{6}$时，取得最小值。答案：$\sqrt {6}-\sqrt {2}$

已知点 $ P $ 是椭圆 $ C:\dfrac{x^{2}}{4}+\dfrac{y^{2}}{3}= 1 $ 上任意一点,定点 $ A(1,1) $,$ F $ 为右焦点,则 $ |PA|+|PF| $ 的最小值为 (D)
A.1
B.3
C.$ 4+\sqrt{5} $
D.$ 4-\sqrt{5} $

答案： 选 D. 依题意，设$F'$为椭圆 C 的左焦点。因为椭圆$C:\frac {x^{2}}{4}+\frac {y^{2}}{3}=1$，则$a = 2$，$b = \sqrt {3}$，$c = 1$，$F'(-1,0)$，$F(1,0)$，所以$|PA|+|PF|=|PA|+2a - |PF'|\geq2a - |AF'|=4 - \sqrt {5}$。