《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

设直线 $l$ 与平面 $\alpha$ 所成的角为 $\theta$,直线 $l$ 的方向向量为 $\boldsymbol{u}$,平面 $\alpha$ 的法向量为 $\boldsymbol{n}$,则 $\sin\theta =$ |cos〈u,n〉| $= \left|\dfrac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{n}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{n}|}\right| =$ $\frac{|u\cdot n|}{|u||n|}$。

答案： ①|cos〈u,n〉| ②$\frac{|u\cdot n|}{|u||n|}$

答案： 以A为原点，分别以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE}$的方向为$x,y,z$轴的正方向建立空间直角坐标系。
设$AB = 1$，则$A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,0,1)$。
$\overrightarrow{BC}=(1,1,0)-(1,0,0)=(0,1,0)$，$\overrightarrow{CE}=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)$。
设平面BCE的法向量为$\overrightarrow{n}=(x,y,z)$，则$\begin{cases}\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{BC}=0,\\\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{CE}=0.\end{cases}$
即$\begin{cases}y = 0,\\-x - y+z = 0.\end{cases}$
令$x = 1$，则$z = 1$，$y = 0$，所以$\overrightarrow{n}=(1,0,1)$。
又$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，设AB与平面BCE所成角为$\theta$。
则$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AB}|\cdot|\overrightarrow{n}|}=\frac{|1×1 + 0×0+0×1|}{1×\sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为$0^{\circ}\leq\theta\leq90^{\circ}$，所以$\theta = 45^{\circ}$。
故AB与平面BCE所成角为$45^{\circ}$。