《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 空间直角坐标系及点的坐标
思考 1 利用单位正交基底是如何建立平面直角坐标系的？
在平面内取一个定点$O$，作两条互相垂直且有公共原点$O$的数轴，分别为$x$轴（横轴）和$y$轴（纵轴），取单位长度（一般情况下，两条数轴的单位长度相同），这样就建立了平面直角坐标系。其中，$x$轴与$y$轴的单位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$是一组单位正交基底。
思考 2 在平面直角坐标系中,如何定义向量的坐标及点的坐标的呢？
向量坐标的定义**：
在平面直角坐标系中，设$\vec{i}$，$\vec{j}$分别为与$x$轴、$y$轴方向相同的单位向量，若$\vec{a}=x\vec{i} + y\vec{j}$，则有序实数对$(x,y)$叫做向量$\vec{a}$的坐标，记作$\vec{a}=(x,y)$。
点坐标的定义**：
设点$A$是平面直角坐标系中的任意一点，过点$A$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足在$x$轴、$y$轴上对应的数$x$，$y$分别叫做点$A$的横坐标、纵坐标，有序实数对$(x,y)$叫做点$A$的坐标，记作$A(x,y)$。并且若$\overrightarrow{OA}=\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$（$O$为坐标原点），则点$A$的坐标$(x,y)$与向量$\overrightarrow{OA}$的坐标$(x,y)$是一致的 。

答案： 思考1
在平面内取一个定点$O$，作两条互相垂直且有公共原点$O$的数轴，分别为$x$轴（横轴）和$y$轴（纵轴），取单位长度（一般情况下，两条数轴的单位长度相同），这样就建立了平面直角坐标系。其中，$x$轴与$y$轴的单位向量$\vec{i}$，$\vec{j}$是一组单位正交基底。
思考2
向量坐标的定义**：
在平面直角坐标系中，设$\vec{i}$，$\vec{j}$分别为与$x$轴、$y$轴方向相同的单位向量，若$\vec{a}=x\vec{i} + y\vec{j}$，则有序实数对$(x,y)$叫做向量$\vec{a}$的坐标，记作$\vec{a}=(x,y)$。
点坐标的定义**：
设点$A$是平面直角坐标系中的任意一点，过点$A$分别作$x$轴、$y$轴的垂线，垂足在$x$轴、$y$轴上对应的数$x$，$y$分别叫做点$A$的横坐标、纵坐标，有序实数对$(x,y)$叫做点$A$的坐标，记作$A(x,y)$。并且若$\overrightarrow{OA}=\vec{a}=x\vec{i}+y\vec{j}$（$O$为坐标原点），则点$A$的坐标$(x,y)$与向量$\overrightarrow{OA}$的坐标$(x,y)$是一致的 。

1. 空间直角坐标系
在空间选定一点 $ O $ 和一个单位正交基底 $\{i,j,k\}$。以点 $ O $ 为原点,分别以 $ i,j,k $ 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：①x轴、②y轴、③z轴,它们都叫做坐标轴。这时我们建立了一个空间直角坐标系 $ Oxyz $。$ O $ 叫做原点,$ i,j,k $ 都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为④Oxy平面,⑤Oyz平面,⑥Oxz平面,它们把空间分成八个部分。

答案： ①x轴 ②y轴 ③z轴 ④Oxy ⑤Oyz ⑥Oxz

2. 右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向⑦x轴的正方向,食指指向⑧y轴的正方向,如果中指指向⑨z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系。

答案： ⑦x轴 ⑧y轴 ⑨z轴

3. 点的坐标
在单位正交基底 $\{i,j,k\}$ 下与向量 $\overrightarrow{OA}$ 对应的有序实数组 $(x,y,z)$,叫做点 $ A $ 在空间直角坐标系中的坐标,记作 $ A(x,y,z) $,其中 $ x $ 叫做点 $ A $ 的横坐标,$ y $ 叫做点 $ A $ 的纵坐标,$ z $ 叫做点 $ A $ 的竖坐标。

答案： 答题（如下\（此题主要利用空间直角坐标系中点的坐标定义来求解相关问题，以下为作答示例））：
假设已知向量$\overrightarrow{OA}=(2,3,4)$，根据点在空间直角坐标系中的坐标定义，在单位正交基底$\{i,j,k\}$下与向量$\overrightarrow{OA}$对应的有序实数组$(x,y,z)$就是点$A$在空间直角坐标系中的坐标，所以点$A$的坐标为$A(2,3,4)$，其中横坐标$x = 2$，纵坐标$y = 3$，竖坐标$z = 4$。

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1)空间直角坐标系中,在 $ x $ 轴上的点的坐标一定是 $(0,b,c)$ 的形式。(×)
(2)空间直角坐标系中,在坐标平面 $ Ozx $ 内的点的坐标一定是 $(a,0,0)$ 的形式。(×)
(3)点 $ P(-2,0,3)$ 位于 $ Ozx $ 平面内。(√)
(4)空间直角坐标系中,点 $(2,\sqrt{3},3)$ 到坐标平面 $ Oxy $ 的距离为 $ 3 $。(√)

答案：
(1)×
(2)×
(3)√
(4)√

2. 点 $ A(1,2,-1)$ 在坐标平面 $ Oyz $ 内的射影的坐标是(B)
A.$(1,0,-1)$
B.$(0,2,-1)$
C.$(1,2,0)$
D.$(-1,2,0)$

答案： B