《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

一 两条异面直线所成的角
思考 同学们在分组讨论异面直线所成的角时,有同学认为异面直线 $l_1$,$l_2$ 所成的角 $\theta$ 就是其方向向量 $\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{v}$ 的夹角 $\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle$；有同学认为异面直线 $l_1$,$l_2$ 所成的角 $\theta$ 与其方向向量 $\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{v}$ 的夹角 $\langle\boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\rangle$ 互补。你认为谁的观点正确？
都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系.

答案： 都不正确，异面直线所成的角与其方向向量的夹角既有区别又有联系，事实上，它们是相等或互补的关系.

若异面直线 $l_1$,$l_2$ 所成的角为 $\theta$,其方向向量分别是 $\boldsymbol{u}$,$\boldsymbol{v}$,则 $\cos\theta = \underline{①}$|cos〈u,v〉|$= \left|\dfrac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}||\boldsymbol{v}|}\right| = \underline{②}$$\frac{|u\cdot v|}{|u||v|}$。

答案： ①|cos〈u,v〉| ②$\frac{|u\cdot v|}{|u||v|}$

1. 若异面直线 $l_1$ 的方向向量与 $l_2$ 的方向向量的夹角为 $120^{\circ}$,则 $l_1$ 与 $l_2$ 所成的角为(B)
A.$\dfrac{\pi}{6}$
B.$\dfrac{\pi}{3}$
C.$\dfrac{2\pi}{3}$
D.$\dfrac{5\pi}{6}$

答案： B

2. (2025·北京期中)设 $\boldsymbol{v}_1= (0,1,1)$,$\boldsymbol{v}_2= (1,0,-1)$ 分别是空间中直线 $l_1$,$l_2$ 的方向向量,则直线 $l_1$,$l_2$ 所成的角为(C)
A.$\dfrac{\pi}{6}$
B.$\dfrac{5\pi}{6}$
C.$\dfrac{\pi}{3}$
D.$\dfrac{2\pi}{3}$

答案： C

3. 在三棱锥 $P - ABC$ 中,$PA\perp$ 底面 $ABC$,底面 $ABC$ 为正三角形,$PA = AB$,则异面直线 $PB$ 与 $AC$ 所成角的余弦值为 $\underline{$\frac{\sqrt{2}}{4}$}$。

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}$

答案： 设正方体的棱长为$a$，以$A$为原点，分别以$\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{A{A}_{1}}$的方向为$x$轴、$y$轴、$z$轴的正方向，建立空间直角坐标系。
则$A(0,0,0)$，$B(a,0,0)$，$C(a,a,0)$，$D(0,a,0)$，$A_1(0,0,a)$，$B_1(a,0,a)$，$C_1(a,a,a)$，$D_1(0,a,a)$。
设$Q(x_1,0,z_1)$，因为$Q$在$A_1B$上，$A_1(0,0,a)$，$B(a,0,0)$，则$\overrightarrow{A_1Q}=\lambda\overrightarrow{A_1B}$（$0\leqslant\lambda\leqslant1$），$\overrightarrow{A_1B}=(a,0, - a)$，$\overrightarrow{A_1Q}=(x_1,0,z_1 - a)$，所以$(x_1,0,z_1 - a)=\lambda(a,0, - a)$，可得$x_1=\lambda a$，$z_1=a - \lambda a$，即$Q(\lambda a,0,a - \lambda a)$。
设$P( \lambda a, \lambda a, \lambda a)$（因为$P$在$B_1C_1$上，$B_1(a,0,a)$，$C_1(a,a,a)$，同理可得$P$点坐标表达式），$\overrightarrow{AQ}=(\lambda a,0,a - \lambda a)$，$\overrightarrow{AP}=(\lambda a,\lambda a,\lambda a)$。
设异面直线$AQ$与$AP$（这里应该是$CP$，假设题目是求$AQ$与$CP$夹角，从常规题型推测）的夹角为$\theta$，$\overrightarrow{AQ}=(\lambda a,0,a - \lambda a)$，$\overrightarrow{CP}=(\lambda a - a,\lambda a - a,\lambda a)$。
$\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CP}=\lambda a(\lambda a - a)+0×(\lambda a - a)+(a - \lambda a)×\lambda a=\lambda(\lambda - 1)a^{2}+\lambda(1 - \lambda)a^{2}=0$。
根据向量夹角公式$\cos\langle\overrightarrow{AQ},\overrightarrow{CP}\rangle=\frac{\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CP}}{\vert\overrightarrow{AQ}\vert\vert\overrightarrow{CP}\vert}$，因为$\overrightarrow{AQ}\cdot\overrightarrow{CP}=0$，所以$\cos\theta = 0$，又$0\lt\theta\leqslant\frac{\pi}{2}$，所以$\theta=\frac{\pi}{2}$。
故异面直线$AQ$与$CP$的夹角为$90^{\circ}$。