《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

[例3](角度2：由空间向量的线性运算求参数)
在长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$M$ 是 $AC$ 与 $BD$ 的交点,若 $\overrightarrow{B_1M} = m\overrightarrow{AA_1} + n\overrightarrow{AB} + p\overrightarrow{AD}$,则 $m + n + p = $-1。

答案： -1

(1) 如图,在四棱锥 $P - ABCD$ 中,底面 $ABCD$ 是平行四边形,已知 $\overrightarrow{PA} = a$,$\overrightarrow{PC} = b$,$\overrightarrow{PD} = c$,$\overrightarrow{PE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{PD}$,则 $\overrightarrow{BE} = $(A)

A.$-a - b + \frac{3}{2}c$
B.$-a - b + \frac{1}{2}c$
C.$a + b + \frac{3}{2}c$
D.$a + b + \frac{1}{2}c$

答案： A

(2) 如图,已知长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,点 $M$ 为 $CC_1$ 的中点,$AN = \frac{1}{2}NC$,若 $\overrightarrow{NM} = x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD} + z\overrightarrow{CC_1}$,则 $x = $$\frac{2}{3}$,$y = $$\frac{2}{3}$,$z = $$\frac{1}{2}$。

答案： $x=\frac{2}{3}$，$y=\frac{2}{3}$，$z=\frac{1}{2}$

1. 化简 $\overrightarrow{PM} - \overrightarrow{PN} + \overrightarrow{MN}$ 所得的结果是(C)
A.$\overrightarrow{PM}$
B.$\overrightarrow{NP}$
C.$0$
D.$\overrightarrow{MN}$

答案： C

2.(多选)下列命题中为真命题的是(ABC)
A.同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小
B.两个相等的向量,若起点相同,则终点也相同
C.只有零向量的模等于 $0$
D.共线的单位向量都相等

答案： ABC

3.(教材 $P_{10}T_5$ 改编)在平行六面体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,$AC$ 与 $BD$ 的交点为 $M$,点 $N$ 为 $B_1D_1$ 上靠近点 $D_1$ 的三等分点。设 $\overrightarrow{A_1B_1} = a$,$\overrightarrow{A_1D_1} = b$,$\overrightarrow{A_1A} = c$,则 $\overrightarrow{MN} = $$-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{1}{6}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$。

答案： $-\frac{1}{6}\boldsymbol{a}+\frac{1}{6}\boldsymbol{b}-\boldsymbol{c}$

4.(教材 $P_6T_5$ 改编)如图,已知长方体 $ABCD - A_1B_1C_1D_1$ 中,点 $E$ 为上底面 $A_1C_1$ 的中心,若 $\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AA_1} + x\overrightarrow{AB} + y\overrightarrow{AD}$,则 $x : y = $1。

答案： 1