《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

思考 1
圆的标准方程 $(x - a)^{2}+(y - b)^{2}= r^{2}$ 可否化为二元二次方程的一般形式？
可以，圆的标准方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$展开得到$x^{2}+y^{2}-2ax - 2by + a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$，令$D = - 2a$，$E = - 2b$，$F = a^{2}+b^{2}-r^{2}$，则$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$是二元二次方程的一般形式。

答案： 可以，圆的标准方程$(x - a)^{2}+(y - b)^{2}=r^{2}$展开得到$x^{2}+y^{2}-2ax - 2by + a^{2}+b^{2}-r^{2}=0$，令$D = - 2a$，$E = - 2b$，$F = a^{2}+b^{2}-r^{2}$，则$x^{2}+y^{2}+Dx + Ey + F = 0$是二元二次方程的一般形式。

思考 2
方程 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F = 0$ 一定表示圆吗？举例说明。
不一定，如$x^{2}+y^{2}=0$，表示坐标原点$O(0,0)$；如$x^{2}+y^{2}+1=0$，不能表示任何曲线。

答案： 不一定，如$x^{2}+y^{2}=0$，表示坐标原点$O(0,0)$；如$x^{2}+y^{2}+1=0$，不能表示任何曲线。

1. 当 $\underline{①}$$D^{2}+E^{2}-4F＞0$时,方程 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F = 0$ 表示一个圆,我们把这个方程叫做圆的一般方程,其圆心为 $\underline{②}$$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$,半径为 $\underline{③}$$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$。
2. 当 $D^{2}+E^{2}-4F = 0$ 时,方程 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F = 0$ 表示点 $\underline{④}$$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$。
3. 当 $\underline{⑤}$$D^{2}+E^{2}-4F＜0$时,方程 $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F = 0$ 不表示任何图形。

答案： ①$D^{2}+E^{2}-4F＞0$ ②$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$ ③$\frac{\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}}{2}$ ④$(-\frac{D}{2},-\frac{E}{2})$ ⑤$D^{2}+E^{2}-4F＜0$

1. 判断正误,正确的打“√”,错误的打“×”。
(1) 圆的一般方程可以化为圆的标准方程。(√)
(2) 方程 $x^{2}+y^{2}-4x - 2y + 5 = 0$ 是圆的方程。(×)
(3) 若方程 $x^{2}+y^{2}-2x + Ey + 1 = 0$ 表示圆,则有 $E \neq 0$。(√)
(4) 利用圆的一般方程无法判断点与圆的位置关系。(×)

答案：
(1)√　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 已知圆的一般方程为 $x^{2}+y^{2}+4x - 2y - 4 = 0$,则半径为(B)
A.1
B.3
C.4
D.9

答案： B

3. 已知圆 $C$ 的一般方程为 $x^{2}+y^{2}-2ax - 4ay + 4a^{2}+2a - 3 = 0$,则该圆的半径的最小值为 $\underline{$\sqrt{2}$}$。

答案： $\sqrt{2}$

4. 若点 $P(-1,2)$ 在圆 $C:x^{2}+y^{2}+x + y + m = 0$ 的外部,则实数 $m$ 的取值范围是 $\underline{$(-6,\frac{1}{2})$}$。

答案： $(-6,\frac{1}{2})$