《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

思考 1 点 $ P_0(x_0,y_0) $ 到直线 $ l:Ax + By + C = 0 $ 的距离公式是什么？
$d=\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

答案： 提示:$d=\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$.

思考 2 已知两条平行直线 $ l_1,l_2 $,从 $ l_1 $ 上任取两点分别求到 $ l_2 $ 的距离,两个距离有什么关系？
相等

答案： 提示:相等.

1. 定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的 $\underline{公垂线段}$ 的长。
2. 图示：
3. 公式：两条平行直线 $ l_1:Ax + By + C_1 = 0 $ 与 $ l_2:Ax + By + C_2 = 0 $($ A,B $ 不同时为 $ 0 $,$ C_1 \neq C_2 $)之间的距离 $ d = \underline{$\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$} $。

答案： ①公垂线段　②$\frac {|C_{1}-C_{2}|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$

[例 1] (1)(对接教材例 7)两条平行直线 $ 2x - y + 3 = 0 $ 与 $ 4x - 2y + 7 = 0 $ 间的距离为 (A)
A.$ \frac{\sqrt{5}}{10} $
B.$ \frac{\sqrt{5}}{5} $
C.$ \frac{\sqrt{10}}{10} $
D.$ \frac{4\sqrt{5}}{5} $

答案：
(1)A

(2)(2025·北京期中)直线 $ y = x $ 与直线 $ y = x - 1 $ 之间的距离为 $\underline{$\frac {\sqrt {2}}{2}$}$。

答案： $\frac {\sqrt {2}}{2}$

[跟踪训练 1] 已知直线 $ l_1:x - 2y + 2 = 0 $,$ l_2:x - 2y - 4 = 0 $ 分别与 $ x $ 轴、$ y $ 轴的交点连线构成四边形,则四边形的面积为 $\underline{9}$。

答案： 9

[例 2] (1) 若两条直线 $ l_1:x + y - 1 = 0 $ 与 $ l_2:x + y + a = 0 $ 间的距离为 $ 2\sqrt{2} $,则 $ a = $ (C)
A.$ 3 $
B.$ 5 $
C.$ 3 $ 或 $ -5 $
D.$ -3 $ 或 $ 5 $

答案：
(1)C