《2025年新坐标同步练习高中数学A版选择性必修第一册人教版青海专用》

如图,$ PA $ 垂直于正方形 $ ABCD $ 所在的平面,$ M,N $ 分别是 $ AB,PC $ 的中点,且 $ PA = AB = 1 $,试建立适当的空间直角坐标系,求向量 $\overrightarrow{BC},\overrightarrow{CD},\overrightarrow{MN}$ 的坐标。

解:因为$PA=AB=AD=1,PA⊥$平面 ABCD,$AB⊥AD$,所以以$\{ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AP}\} $为单位正交基底,建立空间直角坐标系如图所示.
设$\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{i},\overrightarrow {AD}=\boldsymbol{j},\overrightarrow {AP}=\boldsymbol{k},$因为$\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AD}=0\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(0,1,0),\overrightarrow {CD}=-\overrightarrow {AB}=-\boldsymbol{i}+0\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(-1,0,0),\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PN}=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}\overrightarrow {PC}=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {AC})=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})=\frac {1}{2}\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AP}=0\boldsymbol{i}+\frac {1}{2}\boldsymbol{j}+\frac {1}{2}\boldsymbol{k}=(0,\frac {1}{2},\frac {1}{2})$. (答案不唯一,建立空间直角坐标系不同,答案不同)

答案： 解:因为$PA=AB=AD=1,PA⊥$平面 ABCD,$AB⊥AD$,所以以$\{ \overrightarrow {AB},\overrightarrow {AD},\overrightarrow {AP}\} $为单位正交基底,建立空间直角坐标系如图所示.
设$\overrightarrow {AB}=\boldsymbol{i},\overrightarrow {AD}=\boldsymbol{j},\overrightarrow {AP}=\boldsymbol{k},$因为$\overrightarrow {BC}=\overrightarrow {AD}=0\boldsymbol{i}+\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(0,1,0),\overrightarrow {CD}=-\overrightarrow {AB}=-\boldsymbol{i}+0\boldsymbol{j}+0\boldsymbol{k}=(-1,0,0),\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {AP}+\overrightarrow {PN}=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}\overrightarrow {PC}=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {AC})=-\frac {1}{2}\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AP}+\frac {1}{2}(\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {AB}+\overrightarrow {AD})=\frac {1}{2}\overrightarrow {AD}+\frac {1}{2}\overrightarrow {AP}=0\boldsymbol{i}+\frac {1}{2}\boldsymbol{j}+\frac {1}{2}\boldsymbol{k}=(0,\frac {1}{2},\frac {1}{2})$. (答案不唯一,建立空间直角坐标系不同,答案不同)

例 2
在空间直角坐标系中,已知点 $ P(2,3,-1) $,求：
(1)点 $ P $ 关于各坐标平面对称的点的坐标；
(2)点 $ P $ 关于各坐标轴对称的点的坐标；
(3)点 $ P $ 关于坐标原点对称的点的坐标。
【解】
(1)设点 P 关于 Oxy 坐标平面的对称点为$P'$,则点$P'$在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点$P'$在 z 轴上的坐标与点 P 在 z 轴上的坐标互为相反数.所以,点 P 关于 Oxy 坐标平面的对称点$P'$的坐标为$(2,3,1)$.同理,点 P 关于 Oyz,Ozx 坐标平面的对称点的坐标分别为$(-2,3,-1),(2,-3,-1).$
(2)设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q,则点 Q 在 x 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点 Q 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标与点 P 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标互为相反数.所以,点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为$(2,-3,1).$同理,点 P 关于 y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为$(-2,3,1),(-2,-3,-1).$
(3)点$P(2,3,-1)$关于坐标原点对称的点的坐标为$(-2,-3,1).$

答案： 【解】
(1)设点 P 关于 Oxy 坐标平面的对称点为$P'$,则点$P'$在 x 轴上的坐标及在 y 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点$P'$在 z 轴上的坐标与点 P 在 z 轴上的坐标互为相反数.所以,点 P 关于 Oxy 坐标平面的对称点$P'$的坐标为$(2,3,1)$.同理,点 P 关于 Oyz,Ozx 坐标平面的对称点的坐标分别为$(-2,3,-1),(2,-3,-1).$
(2)设点 P 关于 x 轴的对称点为 Q,则点 Q 在 x 轴上的坐标与点 P 的坐标相同,而点 Q 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标与点 P 在 y 轴上的坐标及在 z 轴上的坐标互为相反数.所以,点 P 关于 x 轴的对称点 Q 的坐标为$(2,-3,1).$同理,点 P 关于 y 轴、z 轴的对称点的坐标分别为$(-2,3,1),(-2,-3,-1).$
(3)点$P(2,3,-1)$关于坐标原点对称的点的坐标为$(-2,-3,1).$

(1)在空间直角坐标系 $ Oxyz $ 中,点 $ P(x,2,z) $ 关于坐标平面 $ Ozx $ 的对称点为 $ Q(1,y,1) $,则 $ xyz = $(C)
A.$ 0 $
B.$ 2 $
C.$ -2 $
D.$ 4 $

答案： C

(2)在空间直角坐标系 $ Oxyz $ 中,已知点 $ P $ 在平面 $ Oxy $ 上的射影为 $ P_1(1,2,0) $,在平面 $ Oyz $ 上的射影为 $ P_2(0,2,1) $,则点 $ P $ 的坐标为(1,2,1)。

答案： (1,2,1)