《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

10. [教材 P136 习题 T8 变式题][2025·岳阳期中]如图,在等边三角形 ABC 中,BD 平分∠ABC,E 是 BC 延长线上一点,且 CE = CD,连接 DE,则∠BDE 的度数为 120°。
]

答案： 120°

11. 如图,将边长为 5 cm 的等边三角形 ABC 向右平移 1 cm 得到△A'B'C',此时阴影部分的周长为 12 cm。

答案： 12 cm

12. 新考向情境题 如图,上午 8 时,一条渔船从港口 A 出发,以 15 n mile/h 的速度向正北方向 AN 航行,上午 10 时到达海岛 B 处,从 A,B 处观测海岛 C,测得∠NAC = 30°,∠NBC = 60°.
(1)从海岛 B 到海岛 C 的距离为 30 n mile；
(2)渔船从海岛 B 按原来的方向继续航行 30 n mile 到达海岛 D 处,则从海岛 C 到海岛 D 的距离为 30 n mile.

答案：
(1)30
(2)30

13. [2025·邵阳大祥区期末]如图,△ABC 是等边三角形,D 为边 BC 的中点,BE⊥AB 交 AD 的延长线于点 E,点 F 在 AE 上,且 AF = BE,连接 CF,CE. 求证：
(1)∠CAF = ∠CBE；
(2)△CEF 是等边三角形.
]

答案：
(1)
∵△ABC是等边三角形，
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=60°。
∵D为BC中点，AD平分∠BAC（等边三角形三线合一），
∴∠CAF=∠BAC/2=30°。
∵BE⊥AB，
∴∠ABE=90°，
∴∠CBE=∠ABE-∠ABC=90°-60°=30°。
∴∠CAF=∠CBE。
(2) 在△AFC和△BEC中，
∵AC=BC，∠CAF=∠CBE（已证），AF=BE（已知），
∴△AFC≌△BEC（SAS）。
∴CF=CE，∠ACF=∠BCE。
∵∠ACB=∠ACF+∠FCB=60°，
∴∠BCE+∠FCB=∠FCE=60°。
∵CF=CE且∠FCE=60°，
∴△CEF是等边三角形。

14. 新考向类比探究 如图①,△ABC 为等边三角形,AM⊥BC 于点 M,D 是 BC 边上异于点 B,C 的任意一点,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F.
(1)若 AM = 10,则 DE + DF = 10。
(2)【问题探究】探究 AM,DE,DF 的数量关系并证明.
$AM=DE+DF$.证明略.
(3)【拓展应用】如图②,在等边三角形 ABC 中,P 是 AB 上一点,过点 P 作 PD⊥BC,PE⊥AC,垂足分别为点 D,E,连接 PC. 若△ABC 的面积是 4√3,BC = 4,则 PC + PD + PE 的最小值是 $4\sqrt{3}$。

答案：
(1)10
(2)$AM=DE+DF$.证明略.
(3)$4\sqrt{3}$