《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

1. [2025·岳阳市岳阳县期末]能说明命题“对于任何实数$a$,$\vert a\vert ＞ -a$”是假命题的一个反例可以是(A)
A.$a = -2$
B.$a = 2$
C.$a = 1$
D.$a = \sqrt{2}$

答案： A

2. 用举反例的方法说明下列命题是假命题：
(1)大于锐角的角是钝角；
(2)如果一个整数能被$3$整除,那么这个数也能被$6$整除；
(3)两个无理数的和一定是无理数。

答案： 解:
(1)90°的角大于锐角,但不是钝角.
(2)9能被3整除,但不能被6整除.
(3)-√3和√3都是无理数,但-√3+√3=0,0是有理数.

3. 如图,下列条件能证明$AD// BC$的是(D)

A.$\angle A = \angle C$
B.$\angle B = \angle D$
C.$\angle B = \angle C$
D.$\angle A + \angle B = 180^{\circ}$

答案： D

4. [教材P98例3变式题]证明：如果实数$m\neq 0或实数n\neq 0$,那么$\vert m\vert + \vert n\vert ＞ 0$。

答案： 证明：
考虑反证法，假设$\vert m\vert + \vert n\vert \leq 0$，
由于绝对值函数的输出总是非负的，即$\vert m\vert \geq 0$ 和 $\vert n\vert \geq 0$。
唯一使$\vert m\vert + \vert n\vert = 0$成立的方式是$\vert m\vert = 0$ 且 $\vert n\vert = 0$，即$m = 0$ 且 $n = 0$。
但题目条件给出$m \neq 0$或$n \neq 0$，这与假设矛盾。
因此，假设不成立，所以$\vert m\vert + \vert n\vert ＞ 0$。

5. [教材P99例4变式题]用反证法证明：$\triangle ABC的三个内角中至少有一个角小于或等于60^{\circ}$。

答案： 证明：假设△ABC的三个内角都大于60°，
即∠A＞60°，∠B＞60°，∠C＞60°，
则∠A+∠B+∠C＞60°+60°+60°=180°，
这与三角形内角和定理“三角形三个内角的和等于180°”相矛盾，
所以假设不成立，
故△ABC的三个内角中至少有一个角小于或等于60°。

6. 用反证法证明“在$\triangle ABC$中,若$\angle C$是直角,则$\angle B$一定是锐角”时,应该先假设∠B是直角或钝角。

答案： ∠B是直角或钝角

7. 能说明“锐角$\alpha$、锐角$\beta$的和是锐角”是假命题的例证图是(C)

答案： C

8. 新考向 开放性问题 要说明命题“若$a ＞ b$,则$a^{2} ＞ b^{2}$”是假命题,可以举的反例是a=1,b=-1(答案不唯一)(写出一个即可)。

答案： a=1,b=-1(答案不唯一)

9. [2024·长沙望城区期中]用反证法证明：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知：如图,$\angle 1是\triangle ABC$的一个外角。
求证：$\angle 1 = \angle A + \angle B$。

答案： 证明：假设∠1≠∠A+∠B。
∵∠1是△ABC的外角（已知），
∴∠1+∠2=180°（平角的定义），即∠1=180°-∠2。
在△ABC中，∠A+∠B+∠2=180°（三角形内角和定理），
∴∠A+∠B=180°-∠2。
若∠1≠∠A+∠B，则180°-∠2≠180°-∠2，这与等式性质矛盾。
∴假设不成立，故∠1=∠A+∠B。