《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

4. 某区在进行雨水、污水管道改造工程招标时,有甲、乙两个工程队投标,经测算,甲队单独完成该项工程需120天。若由乙队先单独做20天,余下的工程由甲、乙两队合作36天可完成。
(1)乙队单独完成该项工程需要多少天？
(2)甲队施工一天,需付$1.5$万元工程费,乙队施工一天,需付$2.5$万元工程费,若该工程计划在90天内完成,在不超过工程计划天数的前提下,是由甲队或乙队单独完成该工程省钱,还是由甲、乙两队全程共同完成更省钱？请说明理由。

答案：
(1)设乙队单独完成该项工程需要$x$天，根据题意得：
$\frac{20}{x} + 36\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{x}\right) = 1$
化简得：$\frac{56}{x} + \frac{3}{10} = 1$
解得：$x = 80$
经检验，$x = 80$是原方程的解，且符合题意。
答：乙队单独完成该项工程需要80天。
(2)甲队单独完成需120天$＞90$天，不符合计划天数，舍去。
乙队单独完成需80天$\leq90$天，费用为：$2.5×80 = 200$万元。
设甲、乙合作完成需$y$天，$\left(\frac{1}{120} + \frac{1}{80}\right)y = 1$，解得$y = 48$天$\leq90$天，费用为：$(1.5 + 2.5)×48 = 192$万元。
$192 ＜ 200$，故甲、乙两队全程共同完成更省钱。
答：甲、乙两队全程共同完成更省钱。

5. [2025·武冈期中]某公司购买了一批A,B型芯片,其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等。
(1)该公司购买的A,B型芯片的单价各是多少？
(2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6280元,则购买了多少条A型芯片？

答案：
(1)设A型芯片的单价为$x$元$/$条，则B型芯片的单价为$(x + 9)$元$/$条。
根据题意，得$\frac{3120}{x} = \frac{4200}{x + 9}$，
方程两边同乘$x(x + 9)$得：
$3120(x + 9) = 4200x$
$3120x+28080=4200x$
$4200x-3120x=28080$
$1080x=28080$
$x = 26$
检验：当$x = 26$时，$x(x + 9)=26×35 = 910\neq 0$
所以$x = 26$是原方程的解，
则$x + 9 = 26 + 9 = 35$
答：A型芯片的单价为$26$元$/$条，B型芯片的单价为$35$元$/$条。
(2)设购买了$a$条A型芯片，则购买了$(200 - a)$条B型芯片。
根据题意，得$26a + 35(200 - a) = 6280$
$26a+7000 - 35a = 6280$
$- 9a = 6280 - 7000$
$- 9a = - 720$
$a = 80$
答：购买了$80$条A型芯片。

6. 甲、乙两公司全体员工踊跃参与“携手你我,共渡难关”捐款活动,甲公司共捐款50000元,乙公司共捐款70000元,已知甲公司人数比乙公司少30人,乙公司的人均捐款是甲公司人均捐款的$\frac{7}{6}$倍。
(1)甲、乙两公司各有多少人？
(2)现用所有捐款购买A,B两种物资,已知A种物资每箱7500元,B种物资每箱6000元,若购买A种物资不少于8箱,则有几种购买方案？请写出所有购买方案。(注：A,B两种物资都要购买,且只能整箱买,所有捐款要恰好用完)

答案：
(1)
设甲公司有$x$人，则乙公司有$(x + 30)$人。
甲公司人均捐款$\frac{50000}{x}$元，乙公司人均捐款$\frac{70000}{x + 30}$元。
依题意得：$\frac{70000}{x + 30} = \frac{7}{6} × \frac{50000}{x}$
化简得：$\frac{70000}{x + 30} = \frac{350000}{6x}$
交叉相乘：$70000 × 6x = 350000(x + 30)$
$420000x = 350000x + 10500000$
$70000x = 10500000$
解得：$x = 150$
经检验，$x = 150$是原方程的解。
乙公司人数：$150 + 30 = 180$（人）
答：甲公司150人，乙公司180人。
(2)
总捐款：$50000 + 70000 = 120000$（元）
设购买$A$种物资$m$箱，$B$种物资$n$箱，$m \geq 8$，$m,n$为正整数。
则$7500m + 6000n = 120000$，化简得：$5m + 4n = 80$
$n = \frac{80 - 5m}{4} = 20 - \frac{5m}{4}$
$\because n$为正整数，$\therefore \frac{5m}{4}$为整数，即$m$是4的倍数。
又$m \geq 8$且$n ＞ 0$，则：
当$m = 8$时，$n = 20 - \frac{5 × 8}{4} = 10$；
当$m = 12$时，$n = 20 - \frac{5 × 12}{4} = 5$；
当$m = 16$时，$n = 0$（不合题意，舍去）。
$\therefore$有2种购买方案：
方案1：购买$A$种物资8箱，$B$种物资10箱；
方案2：购买$A$种物资12箱，$B$种物资5箱。
答：有2种购买方案，分别为$A8$箱、$B10$箱；$A12$箱、$B5$箱。