《2025年状元成才路创优作业八年级数学上册湘教版》

8. 新考向 情境题·抢凳子游戏 玩抢凳子游戏时,3 名同学分别站在 $ \triangle ABC $ 三个顶点的位置上,在他们中间放一个凳子,谁先坐到凳子上谁获胜,为使游戏公平,凳子应放置的最适当的位置是在 $ \triangle ABC $ 的(A)
A.三边垂直平分线的交点处
B.三条角平分线的交点处
C.三边中线的交点处
D.三边上高的交点处

答案： A

9. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 25^{\circ} $,$ AC $ 的垂直平分线 $ l $ 交 $ BC $ 于点 $ M $,$ AB + BM = BC $,则 $ \angle B $ 的度数为(B)

A.$ 45^{\circ} $
B.$ 50^{\circ} $
C.$ 55^{\circ} $
D.$ 60^{\circ} $

答案： B

10. [整体思想]如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ AB $ 边的垂直平分线 $ DE $ 分别与 $ AB $,$ AC $ 交于点 $ D $,$ E $,$ BC $ 边的垂直平分线 $ FG $ 分别与 $ BC $,$ AC $ 交于点 $ F $,$ G $。若 $ \triangle BEG $ 的周长为 16,且 $ EG = 1 $,则 $ AC $ 的长为______。

15

答案： 14
∵DE是AB边的垂直平分线，
∴EA=EB。
∵FG是BC边的垂直平分线，
∴GB=GC。
∵△BEG的周长为16，
∴BE+EG+BG=16。
∵EA=EB，GB=GC，
∴EA+EG+GC=16。
∵EA+EG+GC=AC+EG，EG=1，
∴AC+1=16，
∴AC=15。

11. [教材 P143 习题 T10 变式题]如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ D $ 为 $ BC $ 上一点,连接 $ AD $,点 $ E $ 在 $ AD $ 上,且 $ \angle 1 = \angle 2 $,$ \angle 3 = \angle 4 $。求证：$ AD $ 垂直平分 $ BC $。

答案： 证明：
∵∠1=∠2（已知），
∴EB=EC（等角对等边），
∴点E在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵∠3=∠4（已知），
∴∠ABE+∠1=∠ACE+∠2（等式性质），即∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC（等角对等边），
∴点A在线段BC的垂直平分线上（到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）。
∵点A、E都在线段BC的垂直平分线上，且两点确定一条直线，
∴直线AE是线段BC的垂直平分线。
∵E在AD上，
∴AD与AE重合，即AD是线段BC的垂直平分线。
∴AD垂直平分BC。

12. [2025·耒阳期末]如图,在 $ \triangle ABC $ 中,边 $ BC $ 的垂直平分线 $ MN $ 交 $ AC $ 于点 $ D $,交 $ BC $ 于点 $ E $,连接 $ BD $。
(1) 若 $ CE = 4 $,$ \triangle BCD $ 的周长为 18,求 $ BD $ 的长；
(2) 若 $ \angle ADM = 60^{\circ} $,$ \angle ABD = 20^{\circ} $,求 $ \angle A $ 的度数。

答案： 1. （1）
解：
因为$MN$是$BC$的垂直平分线，根据垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$BD = CD$，$BE=CE$。
已知$CE = 4$，则$BC = 2CE=8$。
又因为$\triangle BCD$的周长为$18$，即$BD + CD+BC = 18$，由于$BD = CD$，所以$2BD+BC = 18$。
把$BC = 8$代入$2BD + BC=18$，得$2BD+8 = 18$。
移项可得$2BD=18 - 8$，即$2BD = 10$，解得$BD = 5$。
2. （2）
解：
因为$MN$是$BC$的垂直平分线，所以$\angle CED=\angle BED = 90^{\circ}$，$BD = CD$。
已知$\angle ADM = 60^{\circ}$，则$\angle CDE=\angle ADM = 60^{\circ}$（对顶角相等）。
在$Rt\triangle CDE$中，$\angle C = 90^{\circ}-\angle CDE=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
因为$BD = CD$，所以$\angle DBC=\angle C = 30^{\circ}$。
已知$\angle ABD = 20^{\circ}$，根据三角形内角和定理$\angle A+\angle ABC+\angle C=180^{\circ}$，$\angle ABC=\angle ABD+\angle DBC$。
所以$\angle ABC=20^{\circ}+30^{\circ}=50^{\circ}$。
则$\angle A=180^{\circ}-\angle ABC - \angle C$，把$\angle ABC = 50^{\circ}$，$\angle C = 30^{\circ}$代入可得$\angle A=180^{\circ}-50^{\circ}-30^{\circ}=100^{\circ}$。
综上，（1）$BD$的长为$5$；（2）$\angle A$的度数为$100^{\circ}$。

13. 在等腰三角形 $ ABC $ 中,$ AB = AC $,$ AB $ 的垂直平分线与 $ AC $ 所在直线相交所成的锐角为 $ 40^{\circ} $,求此等腰三角形的顶角的度数(根据题意作出图形解答)。

答案：
解:①当AB的垂直平分线与线段AC相交时,如图①，则∠A=180°−90°−40°=50°;②当AB的垂直平分线与CA的延长线相交时，如图②，则∠BAC=90°+40°=130°.所以此等腰三角形的顶角的度数为50°或130°.